Tổng số đo tất cả các góc của ngũ giác ABCDE bằng tổng số đo các góc của tam giác ABE và tứ giác BCDE, và bằng: 180° + 360° = 540°.

Do ABCDE là ngũ giác đều suy ra các góc của nó đều bằng nhau và bằng \(\frac{{540^\circ }}{5} = 108^\circ .\)

Do PDE là tam giác đều nên PE = PD = DE và \[\widehat {PDE} = \widehat {PED} = \widehat {EPD} = 60^\circ .\]

Do đó: \(\widehat {AEP} = \widehat {AED} + \widehat {DEP} = 108^\circ + 60^\circ = 168^\circ ;\)

            \(\widehat {CDP} = \widehat {CDE} + \widehat {EDP} = 108^\circ + 60^\circ = 168^\circ .\)

Do ABCDE là ngũ giác đều suy ra DE = EA = DC.

Do đó PE = PD = DE = EA = DC nên các tam giác EAP, DCP là các tam giác cân lần lượt tại các đỉnh E và D.

Suy ra: \(\widehat {EPA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEP}}}{2} = \frac{{180^\circ - 168^\circ }}{2} = 6^\circ ;\)

             \(\widehat {DPC} = \frac{{180^\circ - \widehat {CDP}}}{2} = \frac{{180^\circ - 168^\circ }}{2} = 6^\circ .\)

Vì vậy ta có \(\widehat {APC} = \widehat {EPD} - \widehat {EPA} - \widehat {DPC} = 60^\circ - 6^\circ - 6^\circ = 48^\circ .\)