a) ‒ Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^2}\)

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(–3; 6); \(B\left( { - 2;\,\,\frac{8}{3}} \right);\) O(0; 0); \(C\left( {2;\,\,\frac{8}{3}} \right);\) D(3; 6).

• Đồ thị của hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^2}\) là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

‒ Vẽ đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 1\)

⦁ Cho x = 0 ta có y = 1. Đường thẳng d đi qua điểm E(0; 1).

⦁ Cho x = 3 ta có y = 0. Đường thẳng d đi qua điểm F(3; 0).

Đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{3}x + 1\) là đường thẳng d đi qua hai điểm E(0; 1) và F(3; 0).

Đồ thị (P) của hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^2}\) và đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 1\) được vẽ như sau:

b) Gọi (x₀; y₀) là tọa độ giao điểm của (P) và d.

Khi đó, ta có \({y_0} = \frac{2}{3}x_0^2\) và \({y_0} = - \frac{1}{3}{x_0} + 1.\)

Suy ra \(\frac{2}{3}x_0^2 = - \frac{1}{3}{x_0} + 1\)

 \(\frac{2}{3}x_0^2 + \frac{1}{3}{x_0} - 1 = 0\)

 \[2x_0^2 + {x_0} - 3 = 0\]

Phương trình trên a + b + c = 2 + 1 ‒ 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = - \frac{3}{2}.\)

Thay x₁ = 1 vào hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^2},\) ta được \({y_1} = \frac{2}{3} \cdot {1^2} = \frac{2}{3}.\)

Thay \({x_2} = - \frac{3}{2}\) vào hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^2},\) ta được \({y_2} = \frac{2}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2}.\)

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và d là \(\left( {1;\,\,\frac{2}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right).\)