a) Xét phương trình 3x² + 23x – 36 = 0

Ta có: a = 3; b = 23, c = ‒36, ∆ = 23² ‒ 4.3.(‒36) = 529 + 432 = 961 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 23 + \sqrt {961} }} = \frac{{ - 23 + 31}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3};\]

\[{x_2} = \frac{{ - 23 - \sqrt {961} }} = \frac{{ - 23 - 31}}{6} = \frac{{ - 54}}{6} = - 9.\]

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{4}{3};\,\,{x_2} = - 9.\)

b) \({x^2} + \frac{8}{3}x = 1\)

\({x^2} + \frac{8}{3}x - 1 = 0\)

3x² + 8x ‒ 3 = 0

Ta có: a = 3; b’ = 4, c = ‒3, ∆’ = 4² ‒ 3.(‒3) = 16 + 9 = 25 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 4 + \sqrt {25} }}{3} = \frac{{ - 4 + 5}}{3} = \frac{1}{3};\]

\[{x_2} = \frac{{ - 4 - \sqrt {25} }}{3} = \frac{{ - 4 - 5}}{3} = \frac{{ - 9}}{3} = - 3.\]

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{1}{3};\,\,{x_2} = - 3.\)

c) Xét phương trình \(7{x^2} - 2\sqrt 7 x + 1 = 0\)

Ta có: a = 7; \[b' = - \sqrt 7 ;\] c = 1, \[\Delta ' = {\left( { - \sqrt 7 } \right)^2} - 7 \cdot 1 = 7 - 7 = 0.\]

Do đó phương trình có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} = - \frac{{ - \sqrt 7 }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}.\)

d) x(2x + 5) = x² – 9.

2x² + 5x – x² + 9 = 0

x² + 5x + 9 = 0

Ta có: a = 1, b = 5, c = 9, ∆ = 5² – 4.1.9 = 25 – 36 = ‒11 < 0.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.