Để tính giá trị của \( A \) tại \( x = -\frac{1}{2} \) và \( y = -\frac{1}{3} \), trước tiên chúng ta sẽ thay các giá trị này vào công thức của \( A \):

\[
A = (2x - y)(4x + 2xy + y^2)
\]

Bước 1: Tính \( 2x - y \):

\[
2x = 2 \cdot -\frac{1}{2} = -1
\]
\[
2x - y = -1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}
\]

Bước 2: Tính \( 4x + 2xy + y^2 \):

\[
4x = 4 \cdot -\frac{1}{2} = -2
\]
\[
2xy = 2 \cdot -\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{3} = \frac{1}{3}
\]
\[
y^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}
\]

Bây giờ thay các giá trị này vào biểu thức \( 4x + 2xy + y^2 \):

\[
4x + 2xy + y^2 = -2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}
\]

Để cộng các phân số lại, chúng ta sẽ cần quy đồng. Quy đồng \( \frac{1}{3} \) và \( \frac{1}{9} \) với mẫu số chung là \( 9 \):

\[
-2 = -\frac{18}{9}
\]
\[
\frac{1}{3} = \frac{3}{9}
\]
\[
\frac{1}{9} = \frac{1}{9}
\]

Cộng lại:

\[
-2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = -\frac{18}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = -\frac{18 - 3 - 1}{9} = -\frac{16}{9}
\]

Bước 3: Tính giá trị của \( A \):

Giờ đây, chúng ta có:

\[
A = (2x - y)(4x + 2xy + y^2) = \left(-\frac{2}{3}\right) \left(-\frac{16}{9}\right)
\]

Tính:

\[
A = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{27}
\]

Vậy giá trị của \( A \) tại \( x = -\frac{1}{2} \) và \( y = -\frac{1}{3} \) là:

\[
\boxed{\frac{32}{27}}
\]