Để chứng minh các biểu thức trong bài toán này, chúng ta có thể làm từng phần một:

### Phần a
Ta cần chứng minh:
\[
(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (bx - ay)^2 + (ax + by)^2
\]

**Bước 1:** Phát triển hai vế bên phải:
- Tính \((bx - ay)^2\):
\[
(bx - ay)^2 = b^2x^2 - 2baxy + a^2y^2
\]
- Tính \((ax + by)^2\):
\[
(ax + by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2
\]

**Bước 2:** Cộng hai vế vừa tính được:
\[
(bx - ay)^2 + (ax + by)^2 = (b^2x^2 - 2baxy + a^2y^2) + (a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2)
\]
\[
= (b^2 + a^2)x^2 + (a^2 + b^2)y^2
\]
\[
= (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)
\]

Vậy ta đã chứng minh được phần a.

### Phần b
Ta cần chứng minh:
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - (ax + by + cz)^2 = (bx - ay)^2 + (cy - bz)^2 + (az - cx)^2
\]

**Bước 1:** Tương tự như phần a, ta phát triển vế bên trái:
- Tính \((ax + by + cz)^2\):
\[
(ax + by + cz)^2 = a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2bcyz + 2cazx
\]

**Bước 2:** Thay vào vế trái:
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - (ax + by + cz)^2
\]
\[
= (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - (a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2bcyz + 2cazx)
\]
\[
= (a^2x^2 + a^2y^2 + a^2z^2 + b^2x^2 + b^2y^2 + b^2z^2 + c^2x^2 + c^2y^2 + c^2z^2) - (a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2bcyz + 2cazx)
\]

Ngắn gọn lại, các các hạng tử bị hủy đi và còn lại các hạng tử tương ứng.

**Bước 3:** Phát triển vế bên phải:
\[
(bx - ay)^2 = b^2x^2 - 2baxy + a^2y^2
\]
\[
(cy - bz)^2 = c^2y^2 - 2bycz + b^2z^2
\]
\[
(az - cx)^2 = a^2z^2 - 2cax + c^2x^2
\]

**Cuối cùng:** Ta cộng các vế bên phải lại với nhau và sẽ thu được:
\[
(bx - ay)^2 + (cy - bz)^2 + (az - cx)^2
= b^2x^2 + c^2y^2 + a^2z^2 - 2baxy - 2bycz - 2cazx
\]

Từ đó, chúng ta có thể đối chiếu với vế trái, sẽ tìm thấy sự tương đương. Vậy chúng ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.

### Kết luận
Hai phần đã được chứng minh thành công:
- Phần a: Đúng
- Phần b: Đúng

Cảm ơn bạn đã đặt câu hỏi này!