LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của M qua N. a) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM. c) BD cắt AC tại I. Chứng minh \(DI = \frac{2}{3}OB\). d) E là hình chiếu của N trên BC. Tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện gì để tứ giác ONEM là hình vuông?

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của M qua N.

a) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM.

c) BD cắt AC tại I. Chứng minh \(DI = \frac{2}{3}OB\).

d) E là hình chiếu của N trên BC. Tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện gì để tứ giác ONEM là hình vuông?

1 trả lời
Hỏi chi tiết
8
0
0
CenaZero♡
13/09 10:42:41

Lời giải

a) Ta có D là điểm đối xứng của M qua N (giả thiết).

Suy ra N là trung điểm MD.

Mà N cũng là trung điểm AC (giả thiết).

Do đó tứ giác ADCM là hình bình hành (1)

∆ABC có AM là đường cao (giả thiết).

Suy ra AM ⊥ BC tại M.

Khi đó \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)   (2)

Từ (1), (2), ta được tứ giác ADCM là hình chữ nhật.

b) Ta có ADCM là hình chữ nhật.

Suy ra AD // MC và AD = MC (3)

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \);

AM là cạnh chung;

AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BM = CM (cặp cạnh tương ứng)    (4)

Từ (3), (4), suy ra AD = BM và AD // BM.

Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành

Khi đó hai đường chéo AM và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Vậy BD đi qua trung điểm O của AM.

c) ∆AMD có O, N lần lượt là trung điểm của AM, MD.

Suy ra ∆AMD có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của ∆AMD.

Vì vậy \(DI = \frac{2}{3}DO\).

Mà OD = OB (do ABMD là hình bình hành nên trung điểm O của AM cũng là trung điểm của BD).

Vậy \(DI = \frac{2}{3}OB\).

d) Xét ∆ANO và ∆MNO, có:

AN = MN (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);

NO là cạnh chung;

AO = OM (O là trung điểm AM).

Do đó ∆ANO = ∆MNO (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AON} = \widehat {MON}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \[\widehat {AON} + \widehat {MON} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

Do đó \(\widehat {AON} = \widehat {MON} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {OME} = \widehat {MEN} = 90^\circ \).

Vì vậy tứ giác ONEM là hình chữ nhật.

Ta có E là hình chiếu của N lên BC.

Suy ra NE ⊥ MC.

Xét ∆MNE và ∆CNE, có:

NE là cạnh chung;

MN = NC (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);

\(\widehat {NEM} = \widehat {NEC} = 90^\circ \).

Do đó ∆MNE = ∆CNE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra ME = CE (cặp cạnh tương ứng).

Vì vậy E là trung điểm MC.

Do đó \(ME = \frac{1}{2}MC\).

Để tứ giác ONEM là hình vuông thì cần thêm điều kiện OM = ME.

Suy ra \(\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MC\).

Do đó AM = MC = BM.

Vì vậy ∆ABC vuông cân tại A (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Vậy tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) để tứ giác ONEM là hình vuông.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư