Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của M qua N.
a) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM.
c) BD cắt AC tại I. Chứng minh \(DI = \frac{2}{3}OB\).
d) E là hình chiếu của N trên BC. Tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện gì để tứ giác ONEM là hình vuông?
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Ta có D là điểm đối xứng của M qua N (giả thiết).
Suy ra N là trung điểm MD.
Mà N cũng là trung điểm AC (giả thiết).
Do đó tứ giác ADCM là hình bình hành (1)
∆ABC có AM là đường cao (giả thiết).
Suy ra AM ⊥ BC tại M.
Khi đó \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) (2)
Từ (1), (2), ta được tứ giác ADCM là hình chữ nhật.
b) Ta có ADCM là hình chữ nhật.
Suy ra AD // MC và AD = MC (3)
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \);
AM là cạnh chung;
AB = AC (do ∆ABC cân tại A)
Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BM = CM (cặp cạnh tương ứng) (4)
Từ (3), (4), suy ra AD = BM và AD // BM.
Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành
Khi đó hai đường chéo AM và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Vậy BD đi qua trung điểm O của AM.
c) ∆AMD có O, N lần lượt là trung điểm của AM, MD.
Suy ra ∆AMD có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại I.
Do đó I là trọng tâm của ∆AMD.
Vì vậy \(DI = \frac{2}{3}DO\).
Mà OD = OB (do ABMD là hình bình hành nên trung điểm O của AM cũng là trung điểm của BD).
Vậy \(DI = \frac{2}{3}OB\).
d) Xét ∆ANO và ∆MNO, có:
AN = MN (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);
NO là cạnh chung;
AO = OM (O là trung điểm AM).
Do đó ∆ANO = ∆MNO (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {AON} = \widehat {MON}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \[\widehat {AON} + \widehat {MON} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Do đó \(\widehat {AON} = \widehat {MON} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {OME} = \widehat {MEN} = 90^\circ \).
Vì vậy tứ giác ONEM là hình chữ nhật.
Ta có E là hình chiếu của N lên BC.
Suy ra NE ⊥ MC.
Xét ∆MNE và ∆CNE, có:
NE là cạnh chung;
MN = NC (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);
\(\widehat {NEM} = \widehat {NEC} = 90^\circ \).
Do đó ∆MNE = ∆CNE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra ME = CE (cặp cạnh tương ứng).
Vì vậy E là trung điểm MC.
Do đó \(ME = \frac{1}{2}MC\).
Để tứ giác ONEM là hình vuông thì cần thêm điều kiện OM = ME.
Suy ra \(\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MC\).
Do đó AM = MC = BM.
Vì vậy ∆ABC vuông cân tại A (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Vậy tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) để tứ giác ONEM là hình vuông.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |