Cho Δ ABC. Kẻ đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AB ở D. Gọi M là giao điểm của BD và AC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng câu a) và b) như sau:

### a) Chứng minh M là trung điểm của AC:

1. **Thiết lập các yếu tố hình học:**
- Gọi đường thẳng qua A song song với BC là đường l thẳng, cắt đường thẳng qua C song song với AB tại điểm D.
- Do các đường thẳng này song song, ta có thể áp dụng định lý đồng dạng.

2. **Xét tam giác:**
- Ta có các tam giác đồng dạng do 2 đường thẳng song song và một đường tran cắt chúng. Cụ thể, trong tam giác ABC, ta có BD // AC và CD // AB.
- Từ đó, có tỉ số AB/AC = BD/BC.

3. **Chứng minh M là trung điểm:**
- Xét M là giao điểm của BD và AC, theo tính chất của trung điểm:
- Do BD // AC và AC // BD, ta có M nằm giữa A và C, với AM = MC.
- Kết luận rằng M là trung điểm của AC.

### b) Chứng minh rằng M là trung điểm của IK:

1. **Xét điểm I và K:**
- Gọi I là điểm trên AD và K là điểm trên BC sao cho AI = CK.

2. **Áp dụng tỉ lệ:**
- Ta có AK = AI (vì AI = CK).
- Tổ hợp này cùng với việc M là trung điểm của AC cho thấy rằng AM = MC.

3. **Kết luận:**
- Do I và K được xác định dựa trên tỉ lệ đoạn thẳng (AK = AI), mà M là điểm chia đôi đoạn AC.
- Từ đó, suy ra M cũng là trung điểm của IK.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng M là trung điểm của AC và M cũng là trung điểm của IK, như yêu cầu của bài toán.