Cho D={x thuộc R| x³+x²+mx-m-2=0} tìm m để tập hợp đó có nhiều phần tử nhất

Để tìm giá trị của \( m \) cho phép đa thức \( x^3 + x^2 + mx - m - 2 = 0 \) có nhiều nghiệm nhất, chúng ta cần xem xét số nghiệm của phương trình này.

Để tối đa hóa số nghiệm thực của một đa thức bậc ba, chúng ta cần tính toán nghiệm của nó và sử dụng điều kiện về đạo hàm.

1. **Tính đạo hàm:**
Đạo hàm của hàm số là:
\[
f'(x) = 3x^2 + 2x + m
\]

2. **Tìm điểm cực trị:**
Để tìm các cực trị, chúng ta cần giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[
3x^2 + 2x + m = 0
\]
Phương trình này có nghiệm thực nếu và chỉ nếu discriminant (\( \Delta \)) là không âm:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = 4 - 12m \geq 0
\]
Từ đó, ta có điều kiện để \( m \):
\[
4 - 12m \geq 0 \implies m \leq \frac{1}{3}
\]

3. **Số lượng nghiệm:**
- Nếu \( m < \frac{1}{3} \): Phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, và hàm số \( f(x) \) có thể có tối đa 3 nghiệm thực (2 cực trị và 1 giao điểm với trục hoành).
- Nếu \( m = \frac{1}{3} \): Phương trình có một nghiệm kép, và hàm có thể có tối đa 2 nghiệm thực.
- Nếu \( m > \frac{1}{3} \): Phương trình không có nghiệm thực và hàm số chỉ có 1 nghiệm thực.

4. **Kết luận:**
Để phương trình \( x^3 + x^2 + mx - m - 2 = 0 \) có nhiều nghiệm nhất (tối đa là 3), giá trị của \( m \) nên là:
\[
m < \frac{1}{3}
\]

Tóm lại, để tập hợp nghiệm \( D = \{x \in \mathbb{R} | x^3 + x^2 + mx - m - 2 = 0\} \) có nhiều phần tử nhất, ta cần chọn \( m < \frac{1}{3} \).