a)

+) Khi n = 1, ta có:

11+2=2−11+22−1=2−122−12=2−11=2−1=1+1−1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

11+2+12+3+…+1k+1+k+1+1=k+1+1−1. 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

11+2+12+3+…+1k+k+1=k+1−1.

Khi đó:

11+2+12+3+…+1k+1+k+1+1

=11+2+12+3+…+1k+k+1+1k+1+k+1+1

=11+2+12+3+…+1k+k+1+1k+1+k+1+1

=k+1−1+1k+1+k+1+1

=k+1−1+k+1+1−k+1k+1+k+1+1k+1+1−k+1

=k+1−1+k+1+1−k+1k+1+1−k+1

=k+1−1+k+1+1−k+11

=k+1−1+k+1+1−k+1

=k+1+1−1.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

b)

+) Khi n = 2, ta có:

23−123+1=79=222+2+13 . 2(2+1).

Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯k+13−1k+13+1=2k+12+k+1+13k+1k+1+1. 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯k3−1k3+1=2k2+k+13k(k+1).

Khi đó:

23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯k+13−1k+13+1

=23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯k3−1k3+1.k+13−1k+13+1

=23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯k3−1k3+1.k+13−1k+13+1

=2k2+k+13k(k+1).k+13−1k+13+1

=2k2+k+13k(k+1).k+1−1k+12+k+1+1k+1+1k+12−k+1+1

=2k2+k+13k(k+1).kk+12+k+1+1k+1+1k2+2k+1−k+1+1

=2k2+k+13k(k+1).kk+12+k+1+1k+1+1k2+k+1

=23k+1.k+12+k+1+1k+1+1

=2k+12+k+1+13k+1k+1+1.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.