Để chứng minh hai phần của bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một cách rõ ràng.

### Phần a:

Ta cần chứng minh rằng nếu \( a + b + c = 0 \), thì \( a^3 + a^2c - abc + b^2c + b^3 = 0 \).

1. Bắt đầu từ giả thiết \( a + b + c = 0 \), ta có thể thay thế \( c \) bằng \( -a - b \).

2. Thay giá trị của \( c \) vào biểu thức \( a^3 + a^2c - abc + b^2c + b^3 \):

\[
a^3 + a^2(-a-b) - ab(-a-b) + b^2(-a-b) + b^3
\]

3. Tính từng phần và đơn giản hóa:

- Phần 1: \( a^3 - a^3 - a^2b \)
- Phần 2: \( ab(a + b) \)
- Phần 3: \( -b^2a - b^2b \)
- Phần 4: \( b^3 \)

4. Kết hợp các phần lại:

\[
0 - a^2b + ab(a + b) - b^2a - b^3 + b^3 = 0
\]

5. Thấy rằng mọi phần đều được loại trừ và biểu thức rút gọn thành 0, nên ta có:

\[
a^3 + a^2c - abc + b^2c + b^3 = 0
\]

### Phần b:

Ta cần chứng minh rằng:

\[
(y-z)^2 + (z-x)^2 + (x-y)^2 = (y+z-2x)^2 + (z+x-2y)^2 + (y+x-2z)^2 \implies x = y = z
\]

1. Ta bắt đầu từ hai vế của phương trình đã cho.

2. Nếu \( (y - z)^2 + (z - x)^2 + (x - y)^2 = 0 \), thì mỗi phần của vế trái đều không thể âm. Do đó, từng phần phải bằng 0:

\[
(y - z)^2 = 0 \implies y = z,
\]
\[
(z - x)^2 = 0 \implies z = x,
\]
\[
(x - y)^2 = 0 \implies x = y.
\]

3. Kết luận rằng \( x = y = z \).

Bằng các bước trên, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.