Gọi độ dài AM là x (cm), \(0 < x < 8\).

Theo định lý Ta-lét trong tam giác ABC với \(MN//BC\) ta có \(\frac = \frac \Leftrightarrow \frac{x}{8} = \frac{6} \Leftrightarrow AN = \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow NC = AC - AN = 6 - \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\).

Diện tích hình bình hành \(MNCD\) là:

\({S_{MNCD}} = AM.NC = x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)

Theo bài ra, diện tích của hình bình hành MNCD bằng \(\frac{3}{8}\) diện tích của tam giác ABC, nên ta có phương trình \(x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right) = \frac{3}{8}.24\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.

2)

a) Do đồ thị hàm số (1) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) nên ta có phương trình \(4 = m.1 + 1 \Leftrightarrow m = 3\) .

Với \(m = 3\) hàm số (1) có dạng \(y = 3x + 1\)

Vì \(3 > 0\) nên hàm số (1) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Phương trình đường thẳng \[\left( d \right)\] là: \(y =  - x - 3\).

Để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng \[\left( d \right)\] thì \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\1 \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\)

Vậy \(m =  - 1\) thì đồ thị của hàm số (1) song song với đường thẳng \[\left( d \right)\].