Kẻ đường kính CP của O;R

Ta có: ∠POA  là góc ngoài của tam giác OAC nên ∠POA=∠OCA+∠OAC  mà ∠OAC=∠OCA  (do tam giác OAC cân tại O) nên ∠POA=2∠ACO.

Lại có ∠POM  là góc ngoài của tam giác OCM nên ∠POM=∠OCM+∠OMC  mà ∠OCM=∠OMC  (do tam giác OCM cân tại O) nên ∠POM=2∠MCO.

Do đó:∠POM−∠POA=2∠MCO−∠ACO  hay ∠MOA=2∠MCA.

Xét tứ giác EMOA có ∠EAO=∠EMO=90°  (tính chất tiếp tuyến)

Nên ∠MOA+∠AEM=360°−∠EAO+∠EMO=180°

Mà ∠AEM+∠BEF=180°  (hai góc kề bù)

Nên ∠MOA=∠BEF  (cùng bù với ∠AEM )

Lại có  ∠BEF=2∠IEF(do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEF)

Và ∠MOA=2∠MCAcmt

Suy ra ∠IEF=∠MCA

Chứng minh tương tự:

Ta có ∠DOM  là góc ngoài của tam giác cân AOM⇒∠DOM=2∠MAO

∠DOC là góc ngoài của tam giác cân AOC⇒∠DOC=2∠CAO

Trừ vế với vế ta được:∠MOC=2∠MAC

Lại có ∠MFC+∠MOC=360°−∠FMO−∠CFO=180°

Và ∠MFC+∠BFE=180°⇒∠BFE=∠COM

Mà ∠COM=2∠MAC;∠BFE=2∠IFE  nên ∠IFE=∠MAC

Xét tam giác IEF và tam giác MCA có: ∠IFE=∠MAC  và ∠IEF=∠MCAcmt  nên ΔIEF  đồng dạng với ΔMCA  (đpcm).