Tam giác ABC đều nên A^=B^=C^=60°.

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

MK→+MG→=MA→;  MH→+MJ→=MB→;  MI→+ML→=MC→.                (1)

Ta có: MH // AB ⇒MHL^=B^=60° (đồng vị)

ML // AC ⇒MLH^=C^=60° (đồng vị)

Tam giác MHL có MHL^=MLH^=60° nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: MH→+ML→=2MD→.

Chứng minh tương tự ta có: MK→+MJ→=2MF→; MG→+MI→=2ME→.

Do đó: 2MD→+2ME→+2MF→=MH→+ML→+MG→+MI→+MK→+MJ→

=(MK→+MG→)+(MH→+MJ→)+(MI→+ML→)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2(MD→+ME→+MF→)=MA→+MB→+MC→

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên MA→+MB→+MC→=3MO→

Do đó: 2(MD→+ME→+MF→)=3MO→

Suy ra MD→+ME→+MF→=32MO→.