Xét 4 trường hợp.

Trường hợp 1: a là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ b⁵ + c⁵ + d⁵ = 3a⁵ ⇒ a = b = c = d

Trường hợp 2: b là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ c⁷ + d⁷ + a⁷ = 3b⁷ ⇒ a = b = c = d

Trường hợp 3: c là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ a³ + b³ + c³ = 3d³ ≥ 3abc ⇒ d³ ≥ abc (1).

Từ b⁵ + c⁵ + d⁵ = 3a⁵ ≥ 3b5c5d53⇒a≥bcd3⇒a3≥bcd (2).

Từ c⁷ + d⁷ + a⁷ = 3b⁷ ⇒3b7≥3c7d7a73⇒b≥cda3⇒b3≥cda (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra abd ≥ c³, mà c lớn nhất nên a = b = c = d.

Trường hợp 4: d là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ a³ + b³ + c³ = 3d³ ⇒ a = b = c = d

Vậy ta có a = b = c = d.