Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng phần a) và b) một cách tuần tự.

### a) Tìm \( n \) sao cho:

\[
\frac{8n + 1}{2n + 23} = k^2 \text{ (với k là số hữu tỉ)}
\]

Ta sẽ chuyển đổi phương trình này:

\[
8n + 1 = k^2(2n + 23)
\]

Từ đó, ta có thể viết lại:

\[
8n + 1 = 2k^2n + 23k^2
\]

Sắp xếp lại, ta có được:

\[
(8 - 2k^2)n = 23k^2 - 1
\]

Do đó, ta có:

\[
n = \frac{23k^2 - 1}{8 - 2k^2}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, điều kiện là \( 23k^2 - 1 \) phải chia hết cho \( 8 - 2k^2 \).

### b) Tìm \( n \) sao cho:

\[
\frac{3n + 3}{3n + 24} = m^3 \text{ (với m là số hữu tỉ)}
\]

Tương tự, ta có:

\[
3n + 3 = m^3(3n + 24)
\]

Sắp xếp lại:

\[
3n + 3 = 3m^3n + 24m^3
\]

Cho ta:

\[
(3 - 3m^3)n = 24m^3 - 3
\]

Từ đó, ta có:

\[
n = \frac{24m^3 - 3}{3 - 3m^3}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, điều kiện là \( 24m^3 - 3 \) phải chia hết cho \( 3 - 3m^3 \).

### Tổng kết:

Để tìm các số tự nhiên \( n \), ta cần giải các phương trình ràng buộc ở trên. Cụ thể, chúng ta cần thử các giá trị cho \( k \) và \( m \) sao cho những điều kiện đó được thỏa mãn (cho cả phần a và b).

Trong thực tế, bạn sẽ cần thử các giá trị nhỏ cho \( k \) và \( m \) và kiểm tra điều kiện chia hết để tìm ra các số tự nhiên \( n \).