Ta có MA, MB là tiếp tuyến của (O).

Suy ra MA = MB và MO là tia phân giác của \[\widehat {AMB}\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Khi đó tam giác AMB cân tại A có MO là đường phân giác.

Vì vậy MO cũng là đường cao của tam giác AMB.

Suy ra MO ⊥ AB tại I.

Ta có H là trung điểm CD (giả thiết).

Suy ra OH ⊥ CD tại H (quan hệ đường kính và dây cung).

Xét ∆OHM và ∆OIE, có:

\(\widehat {OHM} = \widehat {OIE} = 90^\circ \);

\(\widehat {MOE}\) chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac\).

Vì vậy OH.OE = OM.OI.

Tam giác AOM vuông tại A (vì AM là tiếp tuyến của (O)) có AI là đường cao:

OA² = OI.OM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra OD² = OH.OE.

Xét ∆ODH và ∆OED, có:

\(\widehat {DOE}\) chung;

\(\frac = \frac\) (OD² = OH.OE).

Do đó  (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OHD} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).

Vậy ED là tiếp tuyến của (O; R).