Lời giải

Ta có: \(G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23 = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + bx + 23\)

 \(\; = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x} \right) + \left( {\frac{1}{2}x + bx} \right) + 23\)

 \( = \frac{{{x^2} - x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\)

 \(\; = \frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\).

Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên \(\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2}\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Mà \(\frac{1}{2} + b\) là số nguyên, suy ra \(\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Vậy G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.