Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. Từ H kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC (E ∈ AB; F ∈ AC).
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.
c) Gọi I là giao điểm của EF và AH, M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\widehat {BAC} = 90^\circ .\)
Vì HE ⊥ AB, HF ⊥ AC nên \(\widehat {HEA} = 90^\circ ,\widehat {HFA} = 90^\circ .\)
Xét tứ giác AEHF có: \(\widehat {EAF} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = 90^\circ .\)
⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
b) Vì AEHF là hình chữ nhật ⇒ EH // AF và EH = AF (tính chất hình chữ nhật)
Vì D là tâm đối xứng của A qua F nên F là trung điểm của AD ⇒ AF = FD.
⇒ EH // FD và EH = FD.
⇒ DHEF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
c) Vì I là giao điểm của EF và AH nên ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Gọi O là giao điểm của EF và AM.
Vì AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên AM = MC ⇒ \(\Delta AMC\) cân tại M
⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\)
Vì AEHF là hình chữ nhật có I là giao điểm 2 đường chéo ⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {IFA}\)
Xét \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {IAF} + \widehat {MCA} = 90^\circ \)
⇒ \(\widehat {IAF} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OFA} + \widehat {OAF} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta OAF\) có: \[\widehat {OFA} + \widehat {OAF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AOF} = 90^\circ \]
⇒ EF ⊥ AM tại O hay IF ⊥ AM tại O.
Xét \(\Delta KAM\) có: GM ⊥ KA; AH ⊥ KM.
Mà I là giao điểm của AH và GM nên I là trực tâm của \(\Delta KAM.\)
Suy ra KI ⊥ AM mà IF ⊥ AM.
Do đó K, I, F thẳng hàng.
Ta có:
• Ba điểm E, I, F thẳng hàng.
• Ba điểm K, I, F thẳng hàng.
Do đó bốn điểm I, K, E, F thẳng hàng.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |