Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh: a) Tứ giác ABHM nội tiếp. b) OA.OB = OH.OM = R2. c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d. d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:

a) Tứ giác ABHM nội tiếp.

b) OA.OB = OH.OM = R2.

c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
8
0
0
Phạm Văn Bắc
13/09 23:02:40

a) Do ME, MF là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒ EF ⊥ OM.

Tứ giác ABHM có \(\widehat {BHM} = \widehat {MAB} = 90^\circ \) nên tứ giác ABHM là tứ giác nội tiếp đường tròn có bán kính BM.

b) Xét \(\Delta OHB\) và \(\Delta OAM\) có:

\(\widehat O\) chung

\(\widehat {OHB} = \widehat {OAM} = 90^\circ \)

Do đó ∆OHB ᔕ ∆OAM (g.g)

Suy ra \(\frac = \frac\) hay OH.OM = OA.OB         (1)

Xét \(\Delta OHE\) và \(\Delta OEM\) có:

\(\widehat O\) chung

\(\widehat {OHE} = \widehat {OEM} = 90^\circ \)

Do đó ∆OHE ᔕ ∆OEM (g.g)

Suy ra \(\frac = \frac\) hay OH.OM = OE2 = R2       (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = R2.

c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.

Do FI = EI ⇒ \[\Delta EFI\] cân tại I ⇒ \(\widehat {MFI} = \widehat {EFI}\)

⇒ IF là tia phân giác của góc \(\widehat {MFE}\)

mà MI là tia phân giác của góc \(\widehat {EMF}\)

Do đó I là giao điểm của đường phân giác trong của tam giác MEF

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

Mà I thuộc đường tròn (O) cố định.

Vậy tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.

d) Ta có: \({S_{HBO}} = \frac{1}{2}HO.HB\)

Ta có ∆OHB ᔕ ∆OAM (cmt) suy ra \(\frac = \frac\)

Hay HB.OM = AM.OB   (3)

Mà OH.OM = R2            (4)

Nhân (3) và (4) theo vế với vế, ta được:

OH.HB.OM2 = R2.AM.OB = \({R^2}.AM.\frac{{{R^2}}}\)

⇒ \(OH.HB = {R^4}.\frac{{OA.O{M^2}}} = {R^4}.\frac{{OA\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}}\)

Áp dụng BDT Cô – si ta có: \(O{A^2} + A{M^2} \ge 2.OA.AM\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi OA = AM

⇒ \(OH.HB \le \frac{{{R^4}}} = \frac{{{R^4}}}{{2O{A^2}}}\)

⇒ \({S_{\max }} = \frac{{{R^4}}}{{4O{A^2}}}\) ⇔ OA = AM.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư