Xét bài toán: Tam giác ABC, điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là: b2+c2=5a2.

Ta có: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN. Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

GB2=49BM2=19(2a2+2c2−b2);    GC2=49CN2=19(2a2+2b2−c2)

Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông BGC, ta có: BG2+CG2=BC2

Khi đó ta có: 19(2a2+2c2−b2)+19(2a2+2b2−c2)=a2⇔4a2+b2+c2=9a2⇔b2+c2=5a2.

Quay trở lại bài toán trên, xét tam giác ABC ta có:

a2=b2+c2−2bc.cosA=5a2−2bc.cosA⇒bc=2a2cosA.

Khi đó: S=12bc.sinA=122a2cosA.sinA=a2tanA=33.