Ta có:

x⁶ + 3x⁴ − m³x³ + 4x² − mx + 2 ≥ 0

⇔ x⁶ + 3x⁴ + 4x² + 2 ≥ (mx)³ + mx

⇔ (x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1) + x² + 1 ≥ (mx)³ + mx

⇔ (x² + 1).3 + (x² + 1) ≥ (mx).3 + mx (∗)

Xét hàm số f(t) = t³ + t ta có: f′(t) = 3t² + 1 > 0 ∀ t ∈ R ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.

Khi đó: (∗) ⇔ x² + 1 ≥ mx \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\forall x \in \left[ {1;3} \right]\].

Xét hàm số \[g\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\], \[x \in \left[ {1;3} \right]\] có: \[{g^'}\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0\], \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = g\left( 1 \right) = 2\]

Để \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\mathop {\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\limits_{} \] thì \[\mathop {m \le \min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \] ⇔ m ≤ 2

Mà m là số nguyên dương ⇒ m = 1, m = 2 ⇒ S = {1; 2}

Vậy tổng các phần tử của S là 1 + 2 = 3.