Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O;R) với dây AB < 2R cố định Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho nhọn ,Mvà N lần lược là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Gọi I là giao của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng : 1) Tứ giác BMHI nội tiếp. 2) NI.NB = NH.NM 3) KH là phân giác củ góc AKI, IA là phân giác của góc KIH 4) Khi điểm C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện đề bài thì tổng hai bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp và có giá trị ...

Cho đường tròn (O;R) với dây AB < 2R cố định Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho nhọn ,Mvà N lần lược là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Gọi I là giao của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng :

1) Tứ giác BMHI nội tiếp.

2) NI.NB = NH.NM

3) KH là phân giác củ góc AKI, IA là phân giác của góc KIH

4) Khi điểm C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện đề bài thì tổng hai bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp và có giá trị không đổi .

1 trả lời
Hỏi chi tiết
12
0
0
Trần Đan Phương
13/09 23:37:25
1)    Ta có: \(AN = NC \Rightarrow \angle ABN = \angle NMC \Rightarrow BMHI\)là tứ giác nội tiếp 2)    Theo câu a, tứ giác \(BMHI\)nội tiếp

\( \Rightarrow \angle HMB + \angle HIB = 180^\circ \)mà \(\angle NIH + \angle HIB = 180^\circ \Rightarrow \angle HNB = \angle HIB\)

Xét \(\Delta NIH\)và \(\Delta NMB\)có: \(\angle MNB\)chung,

\( \Rightarrow \frac = \frac \Rightarrow NI.NB = NM.NH\)

3)    Ta có: \(MA = MB \Rightarrow \angle ACM = \angle MNB \Rightarrow KINC\)là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle KIN = \angle KCN\)(cùng chắn mà \(\angle KCN = \angle ABN\)(cùng chắn

\( \Rightarrow \angle KIN = \angle ABN\), mà chúng đồng vi \( \Rightarrow KI//AH\left( 1 \right)\)

Theo câu 1, tứ giác \(BHMI\)nội tiếp \( \Rightarrow \angle IMB = \angle IHB\)(cùng chắn

Mà \(\angle IMB = \angle CAB\), mà chúng đồng vị \( \Rightarrow IH//AK\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AHIK\)là hình bình hành

Lại có :

\( \Rightarrow \angle AKH = \angle AHK \Rightarrow \Delta AHK\)cân tại A\( \Rightarrow AH = AK\)

Hình bình hành \(AHIK\)có \(AN = AK \Rightarrow AHIK\)là hình thoi\( \Rightarrow KH\)là đường phân giác \(\angle AKI \Rightarrow IA\)là phân giác \(\angle KIH\)

4)    Gọi \({O_1},{O_2}\)lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ANH\)và \(\Delta BNH\)

\( \Rightarrow \Delta {O_1}AH\)cân tại \({O_1}\)và \(\Delta {O_2}BH\)cân tại \({O_2}\), có \(\angle A{O_1}H = 2\angle ANH\), \(\angle B{O_2}H = 2\angle BNH\)\( \Rightarrow \angle {A_1}OH = \angle B{O_2}H\)mà \(\angle ANH = \angle BNH\)

\( \Rightarrow \angle {O_1}AH = \angle {O_1}HA = \angle {O_2}HB = \angle O_2^{}BH\)

Gọi D là giao điểm của \(A{O_1}\)và \(B{O_2}\)có:

\(\Delta ADB\)cân tại \(D \Rightarrow M,O,D\)thẳng hàng

Có \(\angle AMD = \angle MAB = \angle ANM \Rightarrow MA\)là tiếp tuyến của \(\left( \right) \Rightarrow \angle MAD = 90^\circ \)\( \Rightarrow MD\)là đường kính của \(\left( O \right) \Rightarrow D\)cố định

Ta chứng minh được : \(\angle A{O_1}H = \angle ADB \Rightarrow H{O_1}//D{O_2}\)

\( \Rightarrow \angle AOB = \angle H{O_2}B \Rightarrow H{O_2}//D{O_1}\)

Tứ giác \(H{O_1}D{O_2}\)là hình bình hành\( \Rightarrow {O_2}H = D{O_1}\)Có \({R_1} + {R_2} = {O_1}A + {O_2}H = {O_1}A + {O_1}D = AD\)

\(A,D\)cố định \( \Rightarrow AD\)không đổi \( \Rightarrow {R_1} + {R_2}\)không đổi

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 9 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư