a)  

Do SA,SBC là hai tiếp tuyến, cát tuyến của (O) nên ΔABC nội tiếp (O) ⇒∠A1=∠C1(cùng chắn cung AB)

Xét ΔAMN và ΔABCcó: ∠CAB=∠NAM (chung)  ; ∠A1=∠C1(cmt)

⇒ΔAMN∽ΔABC(g.g)

b)    Xét tứ giác BCMNcó: ∠N1+∠MNB=180°và ∠N1=∠C1

Mà ∠C1,∠MNB đối nhau nên BCNMlà tứ giác nội tiếp

c)    Xét ΔSBA và ΔSACcó : ∠Schung, ∠A1=∠C1⇒ΔSBA∽ΔSAC(g.g)

⇒SBSA=SASC=ABAC1

Do AD là phân giác của ΔABC nên :

ABAC=BDDC (tính chất phân giác ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra SBSA=SASC⇒SA2=SB.SC

Xét ΔSAD có: 

∠SDA=∠A3+∠C1∠DAC+∠C1;∠SAD=∠DAB+∠A1

Mà ⇒∠SDA=∠SAD⇒ΔSAD(phân giác)

⇒SA=SD⇒SD2=SB.SCcân tại S

⇒SA=SD⇒SD2=SB.SC

d)    Tứ giác EABC nội tiếp nên ∠AEB=∠C1=∠A1(cùng nhìn cung AB)

Mà ∠AEB=∠ABEΔABEcân)⇒∠ABE=∠A1mà 2 góc ở vị trí so le trong

Nên BE//SAmà OA⊥SA(tính chất tiếp tuyến ) ⇒AO⊥BE(dfcm)