Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

2x+1x−1=x+m m≠1

⇔x2+m−3x−m−1=0 (1)

Khi đó cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 

m−32+4m+1>012+m−3−m−1≠0⇔m2−2m+13>0−1≠0(luôn đúng)

Gọi A(x₁; x₁ + m); B(x₂; x₂ + m) trong đó x₁; x₂ là nghiệm của (1), theo Viet ta có:

x1+x2=3−mx1x2=−m−1

Gọi Ix1+x22; x1+x2+2m2 là trung điểm của AB, suy ra I3−m2; 3+m2, nên

IC→=−2−3−m2; 5−3+m2⇒CI=12m−72+7−m2

Mặt khác AB→=x2−x1; x2−x1

⇒AB=2x2−x12=2m2−2m+13

Vậy tam giác ABC đều khi và chỉ khi

CI=32AB⇔122m−72=322m2−2m+13⇔m−72=3m2−2m+13

<=> 2m² + 8m − 10 = 0

⇔m=1m=−5