• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M’ = f(M) và N’ = f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra MH→+M'H→=0→;  KN→+KN'→=0→.

Ta có:

⦁ MN→+M'N'→=MH→+HK→+KN→+M'H→+HK→+KN'→

                      =MH→+M'H→+KN→+KN'→+2HK→

                      =0→+0→+2HK→ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

                      =2HK→.

⦁ MN→−M'N'→=HN→−HM→−HN'→−HM'→.

                      =HN→−HM→−HN'→+HM'→

                      =HN→−HN'→+HM'→−HM→=N'N→+MM'→.

Khi đó MN→2−M'N'→2=MN→+M'N'→MN→−M'N'→

                                  =2HK→N'N→+MM'→

                                  =2HK→.N'N→+2HK→.MM'→=2.0+2.0=0 

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên MM'→⊥HK→;  NN'→⊥HK→).

Suy ra MN→2=M'N'→2.

Do đó MN = M’N’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.