Đường tròn (C) có tâm I(3; 4), bán kính R = 5.

a)

⦁ Gọi (C1) là ảnh của (C) qua ĐOx, khi đó (C1) có tâm I1 là ảnh của I(3; 4) ĐOx và bán kính R1 = R = 5.

Ta có I1 = ĐOx(I).

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn II1

Do đó hai điểm I(3; 4) và I1 có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I1(3; –4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx là đường tròn (C1) có phương trình là:

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25.

⦁ Trục Ox: y = 0.

Với y = 0, ta có 2x + 3.0 + 4 = 0 ⇔ x = –2.

Suy ra giao điểm của ∆ và trục Ox là điểm P(–2; 0).

Khi đó P = ĐOx(P).

Chọn M(1; –2) ∈ ∆.

Gọi M1 và ∆1 theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua ĐOx.

Ta thấy Ox là đường trung trực của đoạn MM1.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M1 có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M1(1; 2).

Ta có M1P→=−3;−2.

Đường thẳng ∆1 có vectơ chỉ phương M1P→=−3;−2.

Suy ra ∆1 có vectơ pháp tuyến n→Δ1=2;−3.

Vậy đường thẳng ∆1 đi qua P(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến n→Δ1=2;−3 nên có phương trình là:

2(x + 2) – 3(y – 0) = 0 hay 2x – 3y + 4 = 0.

b)

⦁ Gọi (C2) là ảnh của (C) qua ĐOy, khi đó (C2) có tâm I2 là ảnh của I(3; 4) qua ĐOy và bán kính R2 = R = 5.

Ta có I2 = ĐOy(I).

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II2.

Do đó hai điểm I(3; 4) và I2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I2(–3; 4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua ĐOy là đường tròn (C2) có phương trình là:

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25.

⦁ Trục Oy: x = 0.

Với x = 0, ta có 2.0 + 3y + 4 = 0 ⇔ y=−43.

Suy ra giao điểm của ∆ và trục Oy là điểm Q0;−43.

Khi đó Q = ĐOy(Q).

Chọn M(1; –2) ∈ ∆.

Gọi M2 và ∆2 theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua ĐOy.

Ta thấy Oy là đường trung trực của đoạn MM2.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M2(–1; –2).

Ta có M2Q→=1;23.

Đường thẳng ∆2 có vectơ chỉ phương u→2=3M2Q→=3;2.

Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến n→Δ2=2;−3.

Vậy đường thẳng ∆2 đi qua M2(–1; –2) và có vectơ pháp tuyến n→Δ2=2;−3 nên có phương trình là:

2(x + 1) – 3(y + 2) = 0 hay 2x – 3y – 4 = 0.

c)

⦁ Gọi (C3) là ảnh của (C) qua Đd, khi đó (C2) có tâm I3 là ảnh của I(3; 4) qua Đd và bán kính R3 = R = 5.

Ta có I3 = Đd(I).

Suy ra d là đường trung trực của đoạn II3 nên II3 ⊥ d tại trung điểm của II3.

Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n→d=1;−1.

Suy ra đường thẳng II3 có vectơ chỉ phương n→d=1;−1.

Do đó đường thẳng II3 có vectơ pháp tuyến u→=1;1.

Vì vậy đường thẳng II3 đi qua điểm I(3; 4) và nhận u→=1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x – 3) + 1(y – 4) = 0 ⇔ x + y – 7 = 0.

Gọi H là giao điểm của II3 và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình x−y−3=0x+y−7=0⇔x=5y=2

Do đó tọa độ H(5; 2).

Ta có H là trung điểm II3.

Suy ra x+y+2=0x−y−3=0⇔x=12y=−52

Do đó tọa độ I3(7; 0).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đd là đường tròn (C3) có phương trình là:

(x – 7)2 + y2 = 25.

⦁ Gọi R là giao điểm của ∆ và d.

Suy ra tọa độ R thỏa mãn hệ phương trình: xI3=2xH−xI=2.5−3=7yI3=2yH−yI=2.2−4=0

Do đó tọa độ R(1; –2).

Khi đó R = Đd(R).

Chọn N(–2; 0) ∈ ∆: 2x + 3y + 4 = 0.

Gọi N’ và ∆3 theo thứ tự là ảnh của N và ∆ qua Đd.

Ta thấy d là đường trung trực của đoạn NN’.

Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n→d=1;−1.

Suy ra đường thẳng NN’ có vectơ chỉ phương n→d=1;−1.

Do đó đường thẳng NN’ có vectơ pháp tuyến u→=1;1.

Vì vậy đường thẳng NN’ đi qua N(–2; 0) và nhận u→=1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x + 2) + 1(y – 0) = 0 ⇔ x + y + 2 = 0.

Gọi K là giao điểm của NN’ và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình: x+y+2=0x−y−3=0⇔x=12y=−52

Do đó tọa độ K12;−52.

Ta có K là trung điểm NN’.

Suy ra xN'=2xK−xN=2.12+2=3yN'=2yK−yN=2.−52−0=−5

Do đó tọa độ N’(3; –5).

Với R(1; –2), ta có N'R→=−2;3.

Đường thẳng ∆3 có vectơ chỉ phương N'R→=−2;3.

Suy ra ∆3 có vectơ pháp tuyến n→Δ3=3;2.

Vậy đường thẳng ∆3 đi qua N’(3; –5) và nhận n→Δ3=3;2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

3(x – 3) + 2(y + 5) = 0 hay 3x + 2y + 1 = 0.