Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.

Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua Đ_d.

Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua Đ_d.

Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua Đ_d.

Do đó A’N = AM.

Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B qua Đ_b.

Suy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.

Mà N ∈ b (giả thiết).

Do đó NB’ = NB.

Ta có AM + NB = A’N + NB’.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: A’N + NB’ ≥ A’B’.

Do đó tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất khi và chỉ khi A’N + NB’ = A’B’.

Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.

Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đ_d(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, A’ = Đ_d(A), B’ = Đ_b(B).