Để chứng minh ΔABD = ΔMBD và DM vuông góc với BC, ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước.

### a) Chứng minh ΔABD = ΔMBD và DM vuông góc với BC

**1. Gọi các điểm như sau:**

- A là đỉnh vuông tại A của tam giác ABC.
- B, C là các đỉnh còn lại.
- H là chân đường cao từ A.
- D là điểm trên AC.
- M là điểm trên BC sao cho BM = BA.

**2. Chứng minh ΔABD = ΔMBD:**

- Ta có:
- AB = MB (do định nghĩa M)
- AD = MD (cùng thuộc đường cao AH và do H nằm trên BC)
- Góc ADB = góc MDB (góc chung)

Vậy theo tiêu chí cạnh – cạnh – cạnh (cạnh) (SAS), ta có:
\[
\Delta ABD \cong \Delta MBD
\]

**3. Chứng minh DM vuông góc với BC:**

- Đường cao AH vuông góc với BC, nên DM cũng vuông góc với BC (do D nằm trên AC và DM là đường vuông góc từ D xuống BC).

### b) Chứng minh ΔDAM là tam giác cân và AM là tia phân giác của góc HAC

**1. Trong tam giác DAM:**

- Ta có AD = DM (từ chứng minh ở phần a)
- Do đó, ΔDAM là tam giác cân.

**2. Chứng minh AM là tia phân giác góc HAC:**

- Tia AH là tia phân giác của góc HAC vì H là chân đường cao từ A.

### c) Chứng minh MC > MH

**1. So sánh đoạn thẳng:**

- M nằm trên cạnh BC.
- H là chân đường cao từ A, do đó H là gần điểm B hơn so với M trên BC.
- Vậy nên, độ dài MC lớn hơn độ dài MH.

### Hình vẽ

Để vẽ hình chính xác, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

1. Vẽ tam giác vuông ABC tại A.
2. Nối AH vuông góc với BC.
3. Gọi D là điểm cắt trên AC.
4. Chọn điểm M trên BC sao cho BM = BA.
5. Nối các điểm để hoàn thành các đoạn thẳng.

Hy vọng phần trình bày trên giúp bạn làm rõ các phần yêu cầu!