Để chứng minh các trường hợp trong tam giác MNP với MN = MP và tia phân giác góc M cắt NP tại I, ta thực hiện các bước như sau:

### A) Chứng minh \(\Delta MNI \cong \Delta MPI\)

1. **Điều kiện:** Biết rằng MN = MP (theo giả thiết), và TIa phân giác tạo ra hai góc: \(\angle MNI = \angle MPI\) (vì là tia phân giác).
2. **Góc chung:** \(\angle IMN\) là góc chung.
3. **Suy ra:** Theo định lý đồng dạng tam giác (cạnh-góc-cạnh - CGC), ta có:
\[
\Delta MNI \cong \Delta MPI
\]

### B) Chứng minh \(MI \perp NP\)

Dịch chuyển từ bước A:
- Khi \(\Delta MNI \cong \Delta MPI\), ta có \(NI = PI\) (cạnh tương ứng).
- Vì \(\angle MNI = \angle MPI\) và \(\angle IMN\) là góc chung, ta suy ra rằng hai tam giác này không chỉ đồng dạng mà còn tạo ra hai tam giác vuông tại I.

### C) Lấy điểm E thuộc cạnh MN; điểm F thuộc cạnh MP sao cho \(ME = MF\). Chứng minh \(ME = MF\), chứng minh \(\angle NIE = \angle PIF\).

1. **Điểm E và F:** Chọn điểm E trên MN và điểm F trên MP sao cho \(ME = MF\).
2. **Góc:** Xét \(\triangle MEI\) và \(\triangle MFI\), do ME = MF, góc IMN = góc IMP, và NI = PI.
3. **Góc tương ứng:** Do đó, từ sự đồng dạng trên, ta có \(\angle NIE = \angle PIF\).

### Kết luận

Dựa trên các chứng minh ở trên, ta có thể hoàn tất bài toán bằng cách xác định các tính chất cần thiết và mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác MNP.