Để giải bài toán, ta đặt:

- \( V \) là thể tích bể (mỗi vòi chảy được tính theo thể tích nước).
- \( t_1 \) là thời gian để vòi I chảy đầy bể (giờ).
- \( t_2 \) là thời gian để vòi II chảy đầy bể (giờ).

**Thông tin cho trước:**

1. Hai vòi cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút (hay \( 4 + \frac{48}{60} = 4.8 \) giờ) bể đầy.
2. Lượng nước của vòi II bằng \( \frac{2}{3} \) lượng nước của vòi I sau cùng một thời gian.

**Tính lượng nước chảy từ mỗi vòi:**

- Lưu lượng nước vòi I: \( R_1 = \frac{V}{t_1} \)
- Lưu lượng nước vòi II: \( R_2 = \frac{V}{t_2} \)

**Khi hai vòi làm việc cùng nhau:**
\[
R_1 + R_2 = \frac{V}{4.8}
\]
Ta có:
\[
\frac{V}{t_1} + \frac{V}{t_2} = \frac{V}{4.8}
\]

Chia cả hai vế cho \( V \) (giả sử \( V \neq 0 \)):
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4.8}
\]
(1)

**Từ điều kiện lượng nước:**
\[
R_2 = \frac{2}{3} R_1 \Rightarrow \frac{V}{t_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{V}{t_1}
\]
Chia cả hai vế cho \( V \):
\[
\frac{1}{t_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t_1}
\]
Suy ra:
\[
t_2 = \frac{3}{2} t_1
\]
(2)

**Thay (2) vào (1):**
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{2}{3t_1} = \frac{1}{4.8}
\]
Tìm một mẫu số chung:
\[
\frac{3}{3t_1} + \frac{2}{3t_1} = \frac{1}{4.8}
\]
\[
\frac{5}{3t_1} = \frac{1}{4.8}
\]
Giải phương trình:
\[
5 \cdot 4.8 = 3t_1 \Rightarrow t_1 = \frac{5 \cdot 4.8}{3} = 8
\]

**Vậy:**
- \( t_1 = 8 \) giờ là thời gian vòi I chảy đầy bể.
- Từ (2), \( t_2 = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12 \) giờ là thời gian vòi II chảy đầy bể.

**Kết quả cuối cùng:**
- Vòi I chảy riêng thì đầy bể sau 8 giờ.
- Vòi II chảy riêng thì đầy bể sau 12 giờ.