Để giải các phương trình này, ta thực hiện từng bước như sau:

### 1) \( \sqrt{x+5} = \sqrt{2x} \)
Bình phương cả hai vế:
\[
x + 5 = 2x
\]
Giải phương trình:
\[
5 = 2x - x \implies x = 5
\]
Kiểm tra lại giá trị \( x = 5 \):
\[
\sqrt{5 + 5} = \sqrt{2 \cdot 5} \implies \sqrt{10} = \sqrt{10} \quad (Đúng)
\]

### 2) \( \sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 1} \)
Bình phương cả hai vế:
\[
2x - 1 = x - 1
\]
Giải phương trình:
\[
2x - x = -1 + 1 \implies x = 0
\]
Kiểm tra lại giá trị \( x = 0 \):
\[
\sqrt{2 \cdot 0 - 1} = \sqrt{0 - 1} \implies \text{không có nghiệm thực.}
\]

### 3) \( \sqrt{2x + 5} = \sqrt{1 - x} \)
Bình phương cả hai vế:
\[
2x + 5 = 1 - x
\]
Giải phương trình:
\[
2x + x = 1 - 5 \implies 3x = -4 \implies x = -\frac{4}{3}
\]
Kiểm tra:
\[
\sqrt{2(-\frac{4}{3}) + 5} \quad và \quad \sqrt{1 - (-\frac{4}{3})}
\]
Cả hai vế đều không hợp lệ (negatives in square roots).

### 4) \( \sqrt{x^2 - x} = \sqrt{3 - x} \)
Bình phương cả hai vế:
\[
x^2 - x = 3 - x
\]
Giải phương trình:
\[
x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \quad hoặc \quad x = -\sqrt{3}
\]
Kiểm tra giá trị:
\( x = \sqrt{3} \) hợp lệ; \( x = -\sqrt{3} \) không hợp lệ.

### 5) \( 3x + 1 = \sqrt{4x - 3} \)
Bình phương cả hai vế:
\[
(3x + 1)^2 = 4x - 3
\]
Giải phương trình:
\[
9x^2 + 6x + 1 = 4x - 3 \implies 9x^2 + 2x + 4 = 0
\]
Dùng công thức bậc hai, không có nghiệm thực (discriminant âm).

### 6) \( \sqrt{x^2 - x} = \sqrt{3x - 5} \)
Bình phương cả hai vế:
\[
x^2 - x = 3x - 5
\]
Giải phương trình:
\[
x^2 - 4x + 5 = 0
\]
Dùng công thức bậc hai, không có nghiệm thực.

### Tóm tắt:
1) \( x = 5 \) (phương trình có nghiệm).
2) Không có nghiệm thực.
3) Không có nghiệm thực.
4) \( x = \sqrt{3} \) (phương trình có nghiệm).
5) Không có nghiệm thực.
6) Không có nghiệm thực.