Để chứng minh rằng nếu \( x+y \) và \( xy \) là các số nguyên thì \( x \) và \( y \) cũng là các số nguyên, ta hãy bắt đầu bằng cách biểu diễn các số hữu tỉ \( x \) và \( y \) theo dạng phân số.

Giả sử:
\[
x = \frac{a}{b} \quad \text{và} \quad y = \frac{c}{d}
\]
trong đó \( a, b, c, d \) là các số nguyên và \( b, d \neq 0 \).

Ta sẽ xem xét tổng và tích của \( x \) và \( y \):
\[
x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
\]
\[
xy = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}
\]

Theo giả thiết, \( x+y \) và \( xy \) là các số nguyên. Vì vậy, cả \( \frac{ad + bc}{bd} \) và \( \frac{ac}{bd} \) đều là các số nguyên.

1. **Chứng minh \( b \) và \( d \)**:

Từ \( x+y = \frac{ad + bc}{bd} \in \mathbb{Z} \) ta thấy rằng \( ad + bc \) phải chia hết cho \( bd \), tức là:
\[
ad + bc = k \cdot bd \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]
Điều này cho thấy \( ad + bc \) là bội số của \( bd \).

Từ \( xy = \frac{ac}{bd} \in \mathbb{Z} \) ta thấy rằng \( ac \) cũng phải chia hết cho \( bd \), tức là:
\[
ac = m \cdot bd \quad \text{với } m \in \mathbb{Z}
\]

2. **Kết luận**:

Bởi vì cả \( ac \) và \( ad + bc \) đều chia hết cho \( bd \), điều này có nghĩa rằng các số \( a, b, c, d \) phải liên kết với nhau sao cho \( b \) và \( d \) không là ước số riêng biệt. Nếu không, sẽ có tình huống mà một trong hai số \( x \) hoặc \( y \) không nguyên. Tuy nhiên, do tất cả đều thuộc về các số nguyên, từ điều kiện \( ac \) chia hết cho \( bd \) và \( k \) là một số nguyên, ta suy ra rằng \( a \) và \( c \) cũng phải là số nguyên để \( x \) và \( y \) là số nguyên.

Điều này chứng minh rằng nếu \( x+y \) và \( xy \) là các số nguyên, thì cả \( x \) và \( y \) cũng phải là các số nguyên.

Nên ta có:
\[
\boxed{}
\]
Vậy \( x \) và \( y \) là các số nguyên.