Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ chia thành hai phần: tính vận tốc của miếng sắt sau va chạm và tính độ co cực đại của lò xo.

### a) Tính vận tốc của miếng sắt sau va chạm

1. **Tính vận tốc của quả cầu trước khi va chạm:**

Quả cầu rơi tự do từ độ cao \( h = 1,25 \, m \). Ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng để tính vận tốc khi quả cầu chạm đất.

Năng lượng tiềm năng tại độ cao \( h \) sẽ chuyển thành năng lượng động năng khi va chạm:

\[
mgh = \frac{1}{2}mv^2
\]

Trong đó:
- \( m = 0,5 \, kg \)
- \( g = 10 \, m/s^2 \)
- \( h = 1,25 \, m \)

Tính toán năng lượng tiềm năng:

\[
E_p = mgh = 0,5 \times 10 \times 1,25 = 6,25 \, J
\]

Bây giờ, áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

\[
6,25 = \frac{1}{2} \times 0,5 \times v^2
\]

Giải phương trình để tìm \( v \):

\[
6,25 = 0,25v^2
\]

\[
v^2 = \frac{6,25}{0,25} = 25
\]

\[
v = 5 \, m/s
\]

Vận tốc của quả cầu ngay trước khi va chạm là \( 5 \, m/s \).

2. **Tính vận tốc của miếng sắt sau va chạm:**

Theo định luật bảo toàn động lượng, tổng động lượng trước va chạm bằng tổng động lượng sau va chạm. Do va chạm là đàn hồi, ta có:

\[
mv = mv' + MV'
\]

Trong đó:
- \( v' \) là vận tốc của quả cầu sau va chạm.
- \( V' \) là vận tốc của miếng sắt sau va chạm.

Nếu quả cầu nảy lên và bị giữ lại, thì \( v' = 0\), và do đó:

\[
mv = MV'
\]

Thay số vào phương trình:

\[
0,5 \times 5 = 1 \times V'
\]

\[
2,5 = V'
\]

Vận tốc của miếng sắt sau va chạm là \( V' = 2,5 \, m/s \).

### b) Tính độ co cực đại của lò xo

Khi miếng sắt và lò xo bị nén tối đa, động năng của miếng sắt sẽ chuyển toàn bộ thành năng lượng đàn hồi của lò xo. Ta có:

\[
\frac{1}{2}MV'^2 = \frac{1}{2}kx^2
\]

Trong đó \( x \) là độ co của lò xo. Thay số vào phương trình:

\[
\frac{1}{2} \times 1 \times (2,5)^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times x^2
\]

Tính bên trái:

\[
\frac{1}{2} \times 1 \times 6,25 = 3,125
\]

Phương trình trở thành:

\[
3,125 = 500x^2
\]

Giải phương trình:

\[
x^2 = \frac{3,125}{500} = 0,00625
\]

\[
x = \sqrt{0,00625} = 0,025 \, m
\]

Vậy độ co cực đại của lò xo là \( x = 0,025 \, m \) hay \( 2,5 \, cm \).