Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số: y = x^2+2x+2/x+1 Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \), trước tiên ta cần tìm đạo hàm của hàm số này. ### Bước 1: Tính đạo hàm Ta sử dụng quy tắc thương để tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(x+1)(2x+2) - (x^2 + 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2} \] Tính toán tử số: \[ (x + 1)(2x + 2) = 2x^2 + 2x + 2x + 2 = 2x^2 + 4x + 2 \] \[ (x^2 + 2x + 2)(1) = x^2 + 2x + 2 \] Vậy, \[ y' = \frac{(2x^2 + 4x + 2) - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x + 1)^2} \] Giúp ta được: \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] ### Bước 2: Tìm các điểm cực trị Để tìm các khoảng đơn điệu, ta cần giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \] Nghĩa là: \[ x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] ### Bước 3: Phân tích dấu của đạo hàm Xét các khoảng: 1. \( (-\infty, -2) \) 2. \( (-2, 0) \) 3. \( (0, +\infty) \) - **Khoảng \( (-\infty, -2) \)**: Chọn \( x = -3 \): \[ y'(-3) = \frac{-3(-3 + 2)}{(-3 + 1)^2} = \frac{-3(-1)}{4} > 0 \quad \text{(đồng biến)} \] - **Khoảng \( (-2, 0) \)**: Chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = \frac{-1(-1 + 2)}{(-1 + 1)^2} \text{ (không xác định tại } x = -1) \] - **Khoảng \( (0, +\infty) \)**: Chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = \frac{1(1 + 2)}{(1 + 1)^2} = \frac{1 \cdot 3}{4} > 0 \quad \text{(đồng biến)} \] ### Bước 4: Kết luận - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (0, +\infty) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-2, 0) \). - Điểm cực tiểu xảy ra tại \( x = -2 \). - Điểm cực đại xảy ra tại \( x = 0 \). ### Bước 5: Tính giá trị tại các điểm cực trị Tính giá trị hàm tại các điểm cực trị: \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + 2(-2) + 2}{-2 + 1} = \frac{4 - 4 + 2}{-1} = -2 \] \[ y(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 + 2}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2 \] ### Kết quả - Điểm cực tiểu: \( (-2, -2) \) - Điểm cực đại: \( (0, 2) \) - Các khoảng đơn điệu: - Đồng biến: \( (-\infty, -2) \) và \( (0, +\infty) \) - Nghịch biến: \( (-2, 0) \)