LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số: y = x^2+2x+2/x+1

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số: y=x^2+2x+2/x+1
0 trả lời
Hỏi chi tiết
54
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \), trước tiên ta cần tìm đạo hàm của hàm số này.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Ta sử dụng quy tắc thương để tính đạo hàm:

\[
y' = \frac{(x+1)(2x+2) - (x^2 + 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2}
\]

Tính toán tử số:

\[
(x + 1)(2x + 2) = 2x^2 + 2x + 2x + 2 = 2x^2 + 4x + 2
\]

\[
(x^2 + 2x + 2)(1) = x^2 + 2x + 2
\]

Vậy,

\[
y' = \frac{(2x^2 + 4x + 2) - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x + 1)^2}
\]

Giúp ta được:

\[
y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}
\]

### Bước 2: Tìm các điểm cực trị

Để tìm các khoảng đơn điệu, ta cần giải phương trình \( y' = 0 \):

\[
\frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0
\]

Nghĩa là:

\[
x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = -2
\]

### Bước 3: Phân tích dấu của đạo hàm

Xét các khoảng:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, 0) \)
3. \( (0, +\infty) \)

- **Khoảng \( (-\infty, -2) \)**: Chọn \( x = -3 \):

\[
y'(-3) = \frac{-3(-3 + 2)}{(-3 + 1)^2} = \frac{-3(-1)}{4} > 0 \quad \text{(đồng biến)}
\]

- **Khoảng \( (-2, 0) \)**: Chọn \( x = -1 \):

\[
y'(-1) = \frac{-1(-1 + 2)}{(-1 + 1)^2} \text{ (không xác định tại } x = -1)
\]

- **Khoảng \( (0, +\infty) \)**: Chọn \( x = 1 \):

\[
y'(1) = \frac{1(1 + 2)}{(1 + 1)^2} = \frac{1 \cdot 3}{4} > 0 \quad \text{(đồng biến)}
\]

### Bước 4: Kết luận

- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (0, +\infty) \).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-2, 0) \).
- Điểm cực tiểu xảy ra tại \( x = -2 \).
- Điểm cực đại xảy ra tại \( x = 0 \).

### Bước 5: Tính giá trị tại các điểm cực trị

Tính giá trị hàm tại các điểm cực trị:

\[
y(-2) = \frac{(-2)^2 + 2(-2) + 2}{-2 + 1} = \frac{4 - 4 + 2}{-1} = -2
\]

\[
y(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 + 2}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2
\]

### Kết quả

- Điểm cực tiểu: \( (-2, -2) \)
- Điểm cực đại: \( (0, 2) \)

- Các khoảng đơn điệu:
- Đồng biến: \( (-\infty, -2) \) và \( (0, +\infty) \)
- Nghịch biến: \( (-2, 0) \)

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư