Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số: y = x^2+2x+2/x+1

Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \), trước tiên ta cần tìm đạo hàm của hàm số này.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Ta sử dụng quy tắc thương để tính đạo hàm:

\[
y' = \frac{(x+1)(2x+2) - (x^2 + 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2}
\]

Tính toán tử số:

\[
(x + 1)(2x + 2) = 2x^2 + 2x + 2x + 2 = 2x^2 + 4x + 2
\]

\[
(x^2 + 2x + 2)(1) = x^2 + 2x + 2
\]

Vậy,

\[
y' = \frac{(2x^2 + 4x + 2) - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x + 1)^2}
\]

Giúp ta được:

\[
y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}
\]

### Bước 2: Tìm các điểm cực trị

Để tìm các khoảng đơn điệu, ta cần giải phương trình \( y' = 0 \):

\[
\frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0
\]

Nghĩa là:

\[
x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = -2
\]

### Bước 3: Phân tích dấu của đạo hàm

Xét các khoảng:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, 0) \)
3. \( (0, +\infty) \)

- **Khoảng \( (-\infty, -2) \)**: Chọn \( x = -3 \):

\[
y'(-3) = \frac{-3(-3 + 2)}{(-3 + 1)^2} = \frac{-3(-1)}{4} > 0 \quad \text{(đồng biến)}
\]

- **Khoảng \( (-2, 0) \)**: Chọn \( x = -1 \):

\[
y'(-1) = \frac{-1(-1 + 2)}{(-1 + 1)^2} \text{ (không xác định tại } x = -1)
\]

- **Khoảng \( (0, +\infty) \)**: Chọn \( x = 1 \):

\[
y'(1) = \frac{1(1 + 2)}{(1 + 1)^2} = \frac{1 \cdot 3}{4} > 0 \quad \text{(đồng biến)}
\]

### Bước 4: Kết luận

- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (0, +\infty) \).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-2, 0) \).
- Điểm cực tiểu xảy ra tại \( x = -2 \).
- Điểm cực đại xảy ra tại \( x = 0 \).

### Bước 5: Tính giá trị tại các điểm cực trị

Tính giá trị hàm tại các điểm cực trị:

\[
y(-2) = \frac{(-2)^2 + 2(-2) + 2}{-2 + 1} = \frac{4 - 4 + 2}{-1} = -2
\]

\[
y(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 + 2}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2
\]

### Kết quả

- Điểm cực tiểu: \( (-2, -2) \)
- Điểm cực đại: \( (0, 2) \)

- Các khoảng đơn điệu:
- Đồng biến: \( (-\infty, -2) \) và \( (0, +\infty) \)
- Nghịch biến: \( (-2, 0) \)