Tìm giá trị lớn nhất của: Q = (a - 3)(b - 3)(c - 3)

Để tìm giá trị lớn nhất của \( Q = (a - 3)(b - 3)(c - 3) \) với điều kiện \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3} \), ta có thể tiến hành như sau:

Đặt \( x = a - 3 \), \( y = b - 3 \), \( z = c - 3 \). Khi đó, \( a = x + 3 \), \( b = y + 3 \), \( c = z + 3 \). Điều kiện trở thành:

\[
\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{y + 3} + \frac{1}{z + 3} = \frac{2}{3}
\]

Chuyển đổi điều kiện này:

\[
\frac{(y+3)(z+3) + (z+3)(x+3) + (x+3)(y+3)}{(x+3)(y+3)(z+3)} = \frac{2}{3}
\]

Nhân chéo và thu gọn, đồng thời áp dụng bất đẳng thức AM-HM:

\[
\frac{(x + 3) + (y + 3) + (z + 3)}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{(x + 3)} + \frac{1}{(y + 3)} + \frac{1}{(z + 3)}}
\]

Giả sử \( x = y = z \), ta có:

\[
3 \cdot \frac{1}{x + 3} = \frac{2}{3} \implies x + 3 = \frac{9}{2} \implies x = \frac{3}{2}
\]

Vậy \( x = y = z = \frac{3}{2} \) dẫn đến:

\[
Q = (x)(y)(z) = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của \( Q \) là:

\[
\boxed{\frac{27}{8}}
\]