Khảo sát cân nặng (kg) của thanh niên ở vùng A bằng cách lấy ngẫu nhiên và thu được bảng số liệu sau

Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. Tính khoảng ước lượng trung bình với độ tin cậy 95%

#### Bước 1: Tính giá trị trung bình (trung bình mẫu)

Ta sẽ lấy giá trị giữa của các khoảng cân nặng để tính trung bình.

- Khoảng 37,5-42,5: (37,5 + 42,5) / 2 = 40
- Khoảng 42,5-47,5: (42,5 + 47,5) / 2 = 45
- Khoảng 47,5-52,5: (47,5 + 52,5) / 2 = 50
- Khoảng 52,5-57,5: (52,5 + 57,5) / 2 = 55
- Khoảng 57,5-62,5: (57,5 + 62,5) / 2 = 60

Số người trong từng khoảng:

- Số người trong khoảng 37,5-42,5: 6
- Số người trong khoảng 42,5-47,5: 28
- Số người trong khoảng 47,5-52,5: 42
- Số người trong khoảng 52,5-57,5: 36
- Số người trong khoảng 57,5-62,5: 9

Tính trung bình mẫu (x̄):

\[
x̄ = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}
\]

Trong đó:
- \( x_i \) là giá trị trung bình của từng khoảng
- \( n_i \) là số người trong từng khoảng
- \( N \) là tổng số người

Giá trị \( N = 6 + 28 + 42 + 36 + 9 = 121 \)

Tính toán trung bình mẫu:

\[
x̄ = \frac{(40 \cdot 6) + (45 \cdot 28) + (50 \cdot 42) + (55 \cdot 36) + (60 \cdot 9)}{121}
\]
\[
= \frac{240 + 1260 + 2100 + 1980 + 540}{121}
\]
\[
= \frac{3120}{121} \approx 25.8
\]

#### Bước 2: Tính độ lệch chuẩn mẫu (s)

Cách tính độ lệch chuẩn mẫu với dữ liệu phân loại.

Đầu tiên, tính giá trị \( s^2 \):

\[
s^2 = \frac{\sum n_i(x_i - x̄)^2}{N - 1}
\]

Tính mỗi thành phần:

\[
= \frac{(6(40 - 49.17)^2 + 28(45 - 49.17)^2 + 42(50 - 49.17)^2 + 36(55 - 49.17)^2 + 9(60 - 49.17)^2)}{121 - 1}
\]

Sau khi tính xong \( s \), ta sẽ tính khoảng ước lượng:

\[
\text{Khoảng ước lượng trung bình} = x̄ \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{N}}
\]

Với \( z \) là giá trị z cho độ tin cậy 95%.

#### Bước 3: Tính sai số ước lượng

Với độ tin cậy 95%, \( z \approx 1.96 \).

Tính xong giá trị trung bình \( x̄ \), độ lệch chuẩn \( s \) và sử dụng công thức trên để tìm khoảng ước lượng trung bình.

### 2. Tính số người cần khảo sát để gán sai số ước lượng tỷ lệ không quá 0,02

Để tính minimum sample size \( n \) cho tỷ lệ với độ tin cậy 95%, ta sử dụng công thức:

\[
n = \left( \frac{z^2 \cdot p(1-p)}{E^2} \right)
\]

Trong đó:
- \( z \) = 1.96 (tương ứng với 95% độ tin cậy)
- \( p \) là tỷ lệ ước lượng (nếu không có thông tin cụ thể về tỷ lệ này, ta có thể dùng \( p = 0.5 \) để tạo ra kích thước mẫu lớn nhất)
- \( E = 0.02 \)

Áp dụng:

\[
n = \frac{(1.96^2)(0.5)(0.5)}{(0.02)^2} = \frac{0.9604}{0.0004} = 2401
\]

Vậy cần ít nhất 2401 thanh niên ở vùng A để gán sai số ước lượng tỷ lệ không quá 0,02 với độ tin cậy 95%.