Tìm số dư của phép chia \( P(x) \) cho \( x^2 + 10x + 21 \)

Để tìm số dư của phép chia \( P(x) \) cho \( x^2 + 10x + 21 \), trước tiên ta viết lại đa thức \( P(x) \).

Ta có:
\[
P(x) = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2022
\]

### Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức \( x^2 + 10x + 21 \)

Đặt \( x^2 + 10x + 21 = 0 \). Ta tìm nghiệm bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 1, b = 10, c = 21 \):
\[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16
\]
\[
x = \frac{-10 \pm 4}{2}
\]
Suy ra các nghiệm là:
\[
x_1 = -3 \quad \text{và} \quad x_2 = -7
\]

### Bước 2: Tính \( P(-3) \) và \( P(-7) \)

Ta sẽ dùng định lý dư để tính số dư của \( P(x) \) khi chia cho \( x^2 + 10x + 21 \). Số dư sẽ là đa thức bậc thấp hơn bậc của \( x^2 + 10x + 21 \), tức là dạng \( ax + b \).

- Tính \( P(-3) \):
\[
P(-3) = (-3+2)(-3+4)(-3+6)(-3+8) + 2022
\]
\[
= (-1)(1)(3)(5) + 2022 = -15 + 2022 = 2007
\]

- Tính \( P(-7) \):
\[
P(-7) = (-7+2)(-7+4)(-7+6)(-7+8) + 2022
\]
\[
= (-5)(-3)(-1)(1) + 2022 = 15 + 2022 = 2037
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình

Ta có hai phương trình:
\[
a(-3) + b = 2007 \tag{1}
\]
\[
a(-7) + b = 2037 \tag{2}
\]

Trừ (1) từ (2):
\[
a(-7) + b - a(-3) - b = 2037 - 2007
\]
\[
-7a + 3a = 30 \implies -4a = 30 \implies a = -\frac{15}{2}
\]

Thay \( a \) vào (1):
\[
-\frac{15}{2}(-3) + b = 2007
\]
\[
\frac{45}{2} + b = 2007 \implies b = 2007 - \frac{45}{2} = 2007 - 22.5 = 1984.5
\]

### Kết luận

Số dư của phép chia \( P(x) \) cho \( x^2 + 10x + 21 \) là:
\[
-\frac{15}{2}x + 1984.5
\]