Để tính biểu thức

\[
\frac{1}{1.1985} + \frac{1}{2.1986} + \frac{1}{3.1987} + \ldots + \frac{1}{16.2001}
\]

trước tiên, chúng ta cần xác định từng hạng tử trong dãy, xem chúng có mẫu số gì và phân tích xem có quy luật nào không.

Ta nhận thấy rằng mẫu số cho từng hạng tử được tạo thành từ một số nguyên (1 đến 16) và một năm (1985 đến 2001). Cụ thể:

- Hạng tử đầu tiên là \(\frac{1}{1.1985}\)
- Hạng tử thứ hai là \(\frac{1}{2.1986}\)
- Hạng tử thứ ba là \(\frac{1}{3.1987}\)
- ...
- Hạng tử cuối cùng là \(\frac{1}{16.2001}\)

Hạng tử thứ \(n\) sẽ có mẫu số là \(n + 1984\) (vì 1985 là năm đầu tiên, tương ứng với \(n=1\)).

Đến đây, ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
S = \frac{1}{1 + 1984} + \frac{1}{2 + 1985} + \frac{1}{3 + 1986} + \ldots + \frac{1}{16 + 2000}
\]

Ta dễ dàng thấy rằng:

\[
S = \frac{1}{1985} + \frac{1}{1986} + \frac{1}{1987} + \ldots + \frac{1}{2001}
\]

Do đó, để tính \(S\) ta chỉ cần tính tổng:

\[
S = \sum_{n=1985}^{2001} \frac{1}{n}
\]

Số hạng từ 1985 đến 2001 bao gồm các số:

1985, 1986, 1987, ..., 2001.

Đếm số hạng:

Đếm từ 1985 đến 2001 là \(2001 - 1985 + 1 = 17\) hạng.

Do đó, ta sẽ tính tổng:

\[
S = \frac{1}{1985} + \frac{1}{1986} + \frac{1}{1987} + \ldots + \frac{1}{2001}
\]

Tính toán giá trị của biểu thức này (bằng tay hoặc sử dụng máy tính) sẽ cho ta kết quả cụ thể của tổng này.

Cuối cùng, theo cách tiếp cận này, kết quả cuối cùng cho biểu thức bạn cần tìm sẽ là một giá trị số gần đúng của tổng các phân số từ 1985 đến 2001.

Nếu bạn cần kết quả chính xác của tổng này thì có thể sử dụng máy tính để làm tròn đến số chữ số mà bạn cần.