Cho S = 1 + 4 + 4^2 +...+ 4^2025. Hỏi S chia hết cho 85 không?

Để tính tổng S = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^2025, ta thấy đây là một cấp số nhân với:

- Giới hạn đầu tiên a = 1
- Cách quãng r = 4
- Số hạng cuối cùng là n = 2025

Công thức tính tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r}
\]

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta, ta có:

\[
S = \frac{1(1 - 4^{2026})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{2026}}{-3} = \frac{4^{2026} - 1}{3}
\]

Chúng ta cần kiểm tra xem S có chia hết cho 85 hay không. Để làm điều này, ta đi phân tích 85 thành thừa số nguyên tố:

\[
85 = 5 \times 17
\]

Vì vậy, ta cần kiểm tra tính chia hết của S cho cả 5 và 17.

### Kiểm tra chia hết cho 5

Tính \(4^{2026} \mod 5\):

\[
4 \equiv -1 \mod 5 \Rightarrow 4^{2026} \equiv (-1)^{2026} \equiv 1 \mod 5
\]

Vậy:

\[
4^{2026} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5
\]

Như vậy, \(4^{2026} - 1\) chia hết cho 5.

Giờ kiểm tra phần \(S\):

\[
S = \frac{4^{2026} - 1}{3}
\]

Để \(S\) chia hết cho 5, ta cần \(4^{2026} - 1\) chia hết cho 15 (vì 3 là số nguyên tố khác). Chúng ta cần kiểm tra:

\[
4^{2026} - 1 \mod 3
\]

Tính \(4 \equiv 1 \mod 3\):

\[
4^{2026} \equiv 1^{2026} \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow 4^{2026} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy \(4^{2026} - 1\) chia hết cho 3. Bởi vậy, \(4^{2026} - 1\) chia hết cho 15, và do đó, \(S\) chia hết cho 5.

### Kiểm tra chia hết cho 17

Tính \(4^{2026} \mod 17\):

Sử dụng định lý Fermat, ta có:

\[
4^{16} \equiv 1 \mod 17
\]

Do đó, ta tính:

\[
2026 \mod 16 = 10 \quad (2026 = 16 \times 126 + 10)
\]

Vậy:

\[
4^{2026} \equiv 4^{10} \mod 17
\]

Giờ tính \(4^{10} \mod 17\):

\[
4^2 = 16 \equiv -1 \mod 17
\]
\[
4^4 = (4^2)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \mod 17
\]
\[
4^8 = (4^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 17
\]
\[
4^{10} = 4^8 \cdot 4^2 \equiv 1 \cdot 16 \equiv -1 \mod 17
\]

Vậy:

\[
4^{2026} - 1 \equiv -1 - 1 \equiv -2 \mod 17
\]

Do đó, \(4^{2026} - 1\) không chia hết cho 17.

### Kết luận

Vì \(S\) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 17, nên \(S\) không chia hết cho 85.

**Vậy câu trả lời là: S không chia hết cho 85.**