Để xác định tính tuần hoàn và chu kỳ cơ sở của các hàm số đã cho, ta sẽ phân tích từng hàm một.

### A. \( y = \tan(\sqrt{x}) \)

Hàm số \( \tan(x) \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là \( \pi \). Tuy nhiên, ở đây, biến \( x \) được thay thế bằng \( \sqrt{x} \), vì vậy hàm số này không còn có tính tuần hoàn theo cách thông thường nữa.
- **Kết luận**: Hàm \( y = \tan(\sqrt{x}) \) **không tuần hoàn**.

### B. \( f(x) = \cos\left(\frac{3x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \)

Để xác định tính tuần hoàn của hàm số này, ta có thể sử dụng công thức nhân:
\[
\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2}\left( \cos(a + b) + \cos(a - b) \right)
\]
Áp dụng cho \( a = \frac{3x}{2} \) và \( b = \frac{x}{2} \):
\[
f(x) = \frac{1}{2} \left( \cos\left(2x\right) + \cos\left(x\right) \right)
\]

Hàm \( \cos(2x) \) có chu kỳ \( \frac{\pi}{2} \) và hàm \( \cos(x) \) có chu kỳ \( 2\pi \). Chu kỳ chung nhỏ nhất của hai hàm này là \( 2\pi \).
- **Kết luận**: Hàm \( f(x) = \cos\left(\frac{3x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \) **tuần hoàn** với **chu kỳ cơ sở là \( 2\pi \)**.

### C. \( f(x) = \sin(x^2) \)

Hàm số \( \sin(x) \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là \( 2\pi \). Tuy nhiên, ở đây, biến \( x \) được thay thế bằng \( x^2 \), vì vậy hàm này không có chu kỳ, vì \( x^2 \) không thể tạo ra một chuỗi tuần hoàn đều khi ta thay đổi \( x \).
- **Kết luận**: Hàm \( f(x) = \sin(x^2) \) **không tuần hoàn**.

### Tổng kết

1. \( y = \tan(\sqrt{x}) \): **Không tuần hoàn**
2. \( f(x) = \cos\left(\frac{3x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \): **Tuần hoàn với chu kỳ cơ sở \( 2\pi \)**
3. \( f(x) = \sin(x^2) \): **Không tuần hoàn**