a) Trong tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pythagorem ta có

AC² = AH² + HC² = 4² + 3² = 25 nên \(AC = \sqrt {25} = 5.\)

\(\tan C = \frac = \frac{4}{3},\) suy ra \(\widehat C \approx 53^\circ .\)

Tam giác ABC vuông ở A nên ta có

\(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ ,\)

\(\tan C = \frac\) nên \(AB = AC.\tan C = 5.\tan 53^\circ = \frac{3} \approx 6,7.\)

Theo định lí Pythagore, ta có

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6,7^2} + {5^2} = 69,89\) nên \(BC = \sqrt {69,89} = 8,4\)

b) Tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có

\(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {6,7^2} - {4^2} = 28,89\) nên \(BH = \sqrt {28,89} = 5,4.\)

\(\sin \widehat {BAH} = \frac = \frac{{5,4}}{{6,7}}\) nên \(\widehat {BAH} \approx 54^\circ .\)

c) Ta có

\(M = \frac{{\sin B + 3\cos B}}{{\cos B}} = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} + 3\)

\( = \tan B + 3 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{4} = 3,75.\)