Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính tan AIO

Đầu tiên, ta xác định các góc trong tam giác AIO. Theo định nghĩa:

- \( O \) là tâm của đường tròn, \( A \) là tiếp điểm, và \( I \) là điểm nằm trên tiếp tuyến tại \( A \).
- Từ tứ giác OABI, ta có:
- \( OA = R \) (bán kính),
- \( AI \) là tiếp tuyến, nên \( \angle OAI = 90^\circ \).

Do đó, trong tam giác AIO:
- \( \tan AIO = \frac{IA}{AO} = \frac{IA}{R} \).

### b) Tính AI và chứng minh IB tiếp xúc với (O)

- Theo định nghĩa, điểm \( B \) trên đường tròn \( (Q) \) sao cho \( IB = IA \).
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác AIB, ta có \( AB^2 + AI^2 = IB^2 \).

**Chứng minh**:
Khi \( IB \) là tiếp tuyến tại điểm \( B \), đoạn thẳng vuông góc nối từ tâm \( O \) đến \( IB \) tại điểm tiếp xúc.
- Do đó, phải có:
- \( OA^2 = OB^2 = R^2 \) và \( \angle OBI = 90^\circ \).

Do đó, \( IB \) là tiếp tuyến với đường tròn \( (O) \).

### c) Kéo dài BO cắt tia IA ở \( K \)

- Dễ dàng thấy rằng khi kéo dài \( BO \), ta sẽ cắt \( IA \) tại một điểm \( K \).
- Sử dụng tỉ lệ lượng giác trong tam giác \( AIB \), ta có thể tính các cạnh của tam giác \( IBI \) theo \( R \).

Tiến hành tìm giải theo các phương trình lượng giác hoặc định lý lượng giác cho các cạnh của tam giác để thu được kết quả mong muốn.

Nếu cần thêm thông tin cụ thể hơn về cách tính toán, bạn có thể yêu cầu cụ thể!