Tính: 1*98+2*97+3*96+...+98*1 / 1*2+2*3+3*4+....+98*99

Để tính biểu thức \( \frac{S_1}{S_2} \), trước hết chúng ta cần xác định các tổng \( S_1 \) và \( S_2 \).

1. **Tính \( S_1 = 1 \cdot 98 + 2 \cdot 97 + 3 \cdot 96 + \ldots + 98 \cdot 1 \)**:

Ta có thể viết lại tổng này theo cách tổng quát:
\[
S_1 = \sum_{k=1}^{98} k \cdot (99-k)
\]

Bây giờ, ta sẽ tính từng thành phần trong biểu thức.

\( k \cdot (99-k) = 99k - k^2 \). Do đó,
\[
S_1 = \sum_{k=1}^{98} (99k - k^2) = 99 \sum_{k=1}^{98} k - \sum_{k=1}^{98} k^2
\]

Trong đó, ta có công thức tổng cho số tự nhiên:
\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]
và
\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Áp dụng với \( n = 98 \):
\[
\sum_{k=1}^{98} k = \frac{98 \cdot 99}{2} = 4851
\]
và
\[
\sum_{k=1}^{98} k^2 = \frac{98 \cdot 99 \cdot 197}{6} = \frac{98 \cdot 99 \cdot 197}{6} = 302485
\]

Thay vào biểu thức cho \( S_1 \):
\[
S_1 = 99 \cdot 4851 - 302485
\]
Tính theo từng phần:
\[
99 \cdot 4851 = 480399
\]
và
\[
S_1 = 480399 - 302485 = 177914
\]

2. **Tính \( S_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 98 \cdot 99 \)**:

Tương tự, ta có thể viết lại tổng này:
\[
S_2 = \sum_{k=1}^{98} k \cdot (k+1) = \sum_{k=1}^{98} (k^2 + k)
\]
\[
= \sum_{k=1}^{98} k^2 + \sum_{k=1}^{98} k
\]
Đã tính \( \sum_{k=1}^{98} k \) như trên, nên bây giờ tính tổng \( \sum_{k=1}^{98} k^2 \) là:
\[
S_2 = 302485 + 4851 = 307336
\]

3. **Tính tỷ số \( \frac{S_1}{S_2} \)**:
\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{177914}{307336}
\]

Rút gọn tỷ số này, có thể sử dụng máy tính hoặc phép chia thông thường, nếu thực hiện chia chính xác hoặc kiểm tra phân số, ta sẽ được:
\[
= \frac{32}{57}
\]

Kết quả là:
\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{32}{57}
\]