Để giải bài bất đẳng thức \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4\) với điều kiện \(x > 0\) và \(y > 0\), ta có thể tiến hành như sau:

**Bước 1: Mở rộng vế trái**

Ta có thể mở rộng vế trái của bất đẳng thức:

\[
(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) = (x+y)\left(\frac{y+x}{xy}\right) = \frac{(x+y)^2}{xy}
\]

Vậy bất đẳng thức trở thành:

\[
\frac{(x+y)^2}{xy} \geq 4
\]

**Bước 2: Nhân chéo và đơn giản hóa**

Khi nhân chéo, ta được:

\[
(x+y)^2 \geq 4xy
\]

**Bước 3: Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc Bất đẳng thức AM-GM**

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai số dương x và y chỉ ra rằng:

\[
(x+y)^2 \geq 4xy
\]

Vì với \(x\) và \(y\) dương, ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \implies (x+y)^2 \geq 4xy
\]

**Kết luận:**

Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4
\]

Bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng với mọi \(x > 0\) và \(y > 0\).