Để chứng minh biểu thức \(2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\), ta sẽ phân tích và sắp xếp lại biểu thức này.

Biểu thức có thể được viết lại như sau:

\[
2x^2 + 2xy + 2x + y^2 - 4y + 19
\]

Ta có thể nhóm lại các thành phần liên quan đến \(x\):

\[
= 2(x^2 + xy + x) + (y^2 - 4y + 19)
\]

Xét phần \(2(x^2 + xy + x)\) trước. Để thuận tiện, ta gọi \(z = y + 1\), thì có:

\[
x^2 + xy + x = x^2 + x(y + 1) = x^2 + xz
\]

Biểu thức \(x^2 + xz\) đạt giá trị nhỏ nhất khi:

\[
x^2 + xz = x^2 + xz
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(z\), chúng ta cần xem xét phần \(y^2 - 4y + 19\):

\[
y^2 - 4y + 19 = (y - 2)^2 + 15
\]

Giá trị nhỏ nhất của \((y - 2)^2\) là 0, khi \(y = 2\). Khi đó:

\[
y^2 - 4y + 19 \geq 0 + 15 = 15
\]

Vì vậy, \((y^2 - 4y + 19) \geq 15\) với mọi giá trị của \(y\).

Tiếp tục, vì \(2(x^2 + xz)\) là một hàm bậc hai theo \(x\), nó cũng có giá trị không âm với mọi \(x\) (điều này đúng vì hệ số \(x^2\) là dương).

Cuối cùng, ta có được:

\[
2(x^2 + xy + x) + (y^2 - 4y + 19) \geq 0 + 15 = 15
\]

Vậy biểu thức:

\[
2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19 \geq 15 > 0
\]

Do đó, biểu thức \(2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19\) luôn dương với mọi giá trị \(x\) và \(y\).