Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x^3 + y^3 = 9 \\
x^2y + xy^2 = 6
\end{cases}
\]

Ta có thể bắt đầu từ phương trình đầu tiên:

### Bước 1: Viết lại phương trình
Phương trình thứ hai \( x^2 y + xy^2 = 6 \) có thể viết lại thành \( xy(x + y) = 6 \).

### Bước 2: Sử dụng công thức \( x^3 + y^3 \)
Ta có công thức:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\]
Thay vào phương trình:
\[
(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 9
\]

### Bước 3: Đặt \( s = x + y \) và \( p = xy \)
Ta có:
\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = s^2 - 2p
\]
Thay vào công thức \( x^3 + y^3 \):
\[
s((s^2 - 3p)) = 9
\]

### Bước 4: Từ phương trình \( xy(s) = 6 \)
Ta có:
\[
ps = 6 \implies p = \frac{6}{s}
\]

### Bước 5: Thay \( p \) vào phương trình
Thay \( p \) vào phương trình \( s(s^2 - 3p) = 9 \):
\[
s \left( s^2 - 3 \cdot \frac{6}{s} \right) = 9
\]
Giải phương trình này sẽ giúp tìm giá trị s.

### Bước 6: Tìm giá trị của \( s \)
\[
s^3 - 18 = 9 \implies s^3 = 27 \implies s = 3
\]

### Bước 7: Giải để tìm \( p \)
Thay \( s = 3 \):
\[
p \cdot 3 = 6 \implies p = 2
\]

### Bước 8: Tìm nghiệm \( x \) và \( y \)
Giải hệ phương trình:
\[
t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t-1)(t-2) = 0
\]
Có các nghiệm:
\[
t = 1 \quad \text{và} \quad t = 2
\]

### Bước 9: Kết quả nghiệm
Vậy cặp nghiệm của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (1, 2) \quad \text{hoặc} \quad (2, 1)
\]

### Kết luận
Hệ phương trình có 2 nghiệm là:
\[
(x, y) = (1, 2) \quad \text{và} \quad (2, 1)
\]