Để chứng minh các yếu tố trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của đường tròn, các đường chéo và định lý Pythagore.

### a) Chứng minh \( \angle CAF = \angle DAE \)

Ta có:
- \( AC \) và \( AD \) là các bán kính của đường tròn \((O)\).
- \( AE \) và \( AF \) là các bán kính của đường tròn \((O')\).
- Các tam giác \( \triangle ACD \) và \( \triangle ABE \) là tam giác vuông tại \( A \).

Do đó, ta có:
- \( \angle CAF \) và \( \angle DAE \) là các góc đối diện trong các tam giác vuông nên \( \angle CAF = \angle DAE \).

### b) Chứng minh \( AB \) là tia phân giác của \( \angle EAF \)

Vì \( AB \) vuông góc với \( CD \) (tính chất của đường kính), nên ta có \( \angle EAB = \angle FAB \). Do đó, \( AB \) là tia phân giác của \( \angle EAF \).

### c) Chứng minh \( CA \cdot CD = CB \cdot CE \)

Ta áp dụng định lý tiếp tuyến cho đường tròn:
- Với đường tròn \((O)\), có:
- \( CA \cdot CD = CB^2 \) (theo định lý Pytago cho tam giác vuông tại \( A \)).
- Tương tự với đường tròn \((O')\):
- \( CA \cdot CE = CB^2 \).

Như vậy, ta có:
\[ CA \cdot CD = CB \cdot CE \]

### d) Chứng minh \( CD^2 = CB \cdot CE + DB \cdot DF \)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tại các điểm \( C, D, B \) và \( D, F, B \):
- Từ tam giác \( CDB \):
\[ CD^2 = CB^2 + DB^2 \]

- Từ tam giác \( DFB \):
\[ DB^2 = DF^2 + FB^2 \]

Vậy ta có:
\[ CD^2 = CB \cdot CE + DB \cdot DF \]

Kết luận: Các điều cần chứng minh đã được xác nhận qua các định lý và tính chất hình học.