Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ đi từng bước một.

### a) Chứng minh: \(\Delta ABC = \Delta MNC\)

- **Cạnh:** Ta có:

- \(CM = CA\) (theo đề bài)
- \(CN = CB\) (theo đề bài)

Do đó, \(AC = CM\) và \(BC = CN\).

- **Góc:**

- Ta có góc \(\angle ACB = \angle NCM\) vì \(MN\) đối diện với \(\angle MNC\) (đối diện với tia CB và CA).

- Tương tự, \(\angle ABC = \angle MNC\).

Vậy, từ 2 cặp cạnh và 1 cặp góc, chúng ta có thể kết luận rằng \(\Delta ABC \cong \Delta MNC\) (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh - C.G.C).

### b) Vẽ AH ⊥ BC tại H, Vẽ MK ⊥ CN tại K. Chứng minh: \(AH = MK\)

- **Nhận xét:** Vì \(\Delta ABC \cong \Delta MNC\), nên các đường cao từ \(\triangle ABC\) và \(\triangle MNC\) tương ứng sẽ bằng nhau.

- Cụ thể, \(AH\) là đường cao từ A đến BC trong \(\Delta ABC\) và \(MK\) là đường cao từ M đến CN trong \(\Delta MNC\).

- Do tính chất của các tam giác đồng dạng, ta có \(AH = MK\).

### c) Chứng minh: \(\frac{AB + AN}{2} > AC\)

- **Chứng minh:** Theo định nghĩa của M và N, chúng ta có:

- \(AM = AC\) và \(AN = AB\).

- Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng:

\[
\frac{AB + AN}{2} = \frac{AB + AB}{2} = AB
\]

- Vì \(AB < AC\) (theo đề bài), vậy ta có:

\[
\frac{AB + AN}{2} > AC
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.