Để giải quyết các câu hỏi trong bài toán này, chúng ta có thể thực hiện như sau:

### Câu 6:

**a)** Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( a \).

Hệ phương trình được cho là:

\[
\begin{cases}
x + ay = 1 \\
-ax + y = a
\end{cases}
\]

Ta có thể biểu diễn nó dưới dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
1 & a \\
-a & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
a
\end{pmatrix}
\]

Để tồn tại nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:

\[
D = 1 \cdot 1 - (-a)(a) = 1 + a^2
\]

Vì \( a^2 \geq 0 \) với mọi \( a \), cho nên \( D \geq 1 > 0 \).

Vậy nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( a \).

**b)** Tìm \( a \) để hệ có nghiệm \( (x; y) \) sao cho \( x < 1; y < 1 \).

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
y = \frac{1 - x}{a}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
-ax + \frac{1 - x}{a} = a
\]

Giải phương trình này cho \( x \):

\[
-ax + \frac{1 - x}{a} - a = 0
\]

Hay là:

\[
-a^2x + 1 - x - a^2 = 0
\]

\[
(-a^2 - 1)x + (1 - a^2) = 0
\]

Giải \( x \):

\[
x = \frac{1 - a^2}{-a^2 - 1}
\]

Yêu cầu \( x < 1 \) sẽ dẫn đến:

\[
\frac{1 - a^2}{-a^2 - 1} < 1
\]

Giải bất phương trình này sẽ cho chúng ta điều kiện cho \( a \).

### Câu 7:

**a)** Giải hệ với \( a = -\sqrt{2} \).

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
(-\sqrt{2}+1)x - y = 3 \\
-\sqrt{2}x + y = -\sqrt{2}
\end{cases}
\]

Có thể nhân hệ này để tìm \( x \) và \( y \).

**b)** Để xác định \( a \) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện \( x + y > 0 \), ta cần giải hệ phương trình tương tự như trên, xác định giới hạn cho \( a \).

Bạn có thể tiếp tục giải cụ thể các phương trình này để tìm giá trị cho \( x \) và \( y \) tùy theo yêu cầu bài toán.