Để giải bài toán này, ta có phương trình:

\[
\frac{x+1}{10} + \frac{x+1}{11} + \frac{x+1}{12} = \frac{x+1}{13} + \frac{x+1}{14}
\]

Trước tiên, ta có thể nhân cả hai bên phương trình với \( (10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14) \) để loại bỏ các mẫu số. Kết quả là:

\[
(x+1) \cdot (11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14) + (x+1) \cdot (10 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14) + (x+1) \cdot (10 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 14) = (x+1) \cdot (10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 14) + (x+1) \cdot (10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13)
\]

Ta nhóm các hạng tử lại và rút gọn đi:

\[
(x + 1) \left( 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 + 10 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 + 10 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 14 - 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 14 - 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \right) = 0
\]

Do đó, để phương trình thỏa mãn, có hai trường hợp:

1. \( x + 1 = 0 \) (tức là \( x = -1 \))
2. Hạng tử trong ngoặc đơn bằng 0.

Giải hạng tử trong ngoặc là phức tạp, vì vậy ta có thể thử nghiệm một số giá trị cho \( x \).

Nếu cho \( x = -1 \), ta sẽ kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn không:

\[
\frac{0}{10} + \frac{0}{11} + \frac{0}{12} = \frac{0}{13} + \frac{0}{14}
\]

Điều này đúng nên \( x = -1 \) là một nghiệm.

Do đó, câu trả lời là:

\[
\boxed{-1}
\]